cho hình chóp SABCD có SB = a√2 các cạnh còn lại đều bằng a. Tính thể tích khối chóp theo a.

Question

gaidepcuto · Accepted Answer

{"userId":5420429,"userName":"Minh Long"}

$$ ext{Giả sử } AB = BC = CD = DA = AC = BD = SA = SC = SD = a,\ SB = \frac{a}{2}$$

$$ ext{Lấy } A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0 ight)$$

$$ ext{Do } AB = AD = a,\ \Rightarrow \angle BAD = 60^\circ \Rightarrow ext{tứ giác ABCD là hình vuông đều}$$

$$ ext{Lấy } S(x,y,z)\ ext{thỏa mãn: } SA = SC = SD = a,\ SB = \frac{a}{2}$$

$$ ext{Giải hệ phương trình khoảng cách, ta tìm được tọa độ } S$$

$$\vec{AB} = (a,0,0),\ \vec{AD} = \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0 ight)$$

$$\vec{n} = \vec{AB} imes \vec{AD} = \left(0, 0, \frac{a^2\sqrt{3}}{2} ight)$$

$$ ext{Diện tích đáy: } S_{ABCD} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$

$$ ext{Chiều cao: } h = \frac{\sqrt{11}}{4}a$$

$$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ ext{đáy}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdot \frac{\sqrt{11}}{4}a$$

$$V = \frac{a^3\sqrt{33}}{48}$$

$$\boxed{V = \frac{a^3\sqrt{33}}{48}}$$

Timi · Answer

Để tính thể tích khối chóp $SABCD$, ta cần xác định diện tích đáy và chiều cao của hình chóp.

Bước 1: Xác định đáy của hình chóp
Giả sử đáy $ABCD$ là một hình vuông với các cạnh đều bằng $a$. Do đó, diện tích của hình vuông $ABCD$ là:
$$
S_{ABCD} = a^2
$$

Bước 2: Xác định chiều cao của hình chóp
Vì $SB = a\sqrt{2}$ và các cạnh còn lại đều bằng $a$, ta có thể suy ra rằng $S$ là đỉnh của một hình chóp đều với đáy là hình vuông $ABCD$.

Để tìm chiều cao $SH$ của hình chóp, ta cần xác định vị trí của $H$, là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng đáy $ABCD$. Do $SABCD$ là hình chóp đều, $H$ chính là tâm của hình vuông $ABCD$.

Tâm của hình vuông $ABCD$ có tọa độ là trung điểm của đường chéo $AC$ hoặc $BD$. Độ dài đường chéo của hình vuông là:
$$
AC = BD = a\sqrt{2}
$$

Vì $H$ là trung điểm của $AC$, nên:
$$
AH = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}
$$

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $SAH$:
$$
SH^2 + AH^2 = SA^2
$$
$$
SH^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = a^2
$$
$$
SH^2 + \frac{a^2 \cdot 2}{4} = a^2
$$
$$
SH^2 + \frac{a^2}{2} = a^2
$$
$$
SH^2 = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}
$$
$$
SH = \frac{a\sqrt{2}}{2}
$$

Bước 3: Tính thể tích khối chóp
Thể tích $V$ của khối chóp $SABCD$ được tính theo công thức:
$$
V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SH
$$
$$
V = \frac{1}{3} \times a^2 \times \frac{a\sqrt{2}}{2}
$$
$$
V = \frac{a^3\sqrt{2}}{6}
$$

Vậy, thể tích của khối chóp $SABCD$ theo $a$ là $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$.