giúo giúo mik

Câu 1: Bài 1: Tìm cực trị của hàm số \( y = x^3 - 3x + 5 \) Bước 1: Tìm đạo hàm bậc nhất Ta có: \[ y' = 3x^2 - 3 \] Bước 2: Giải phương trình \( y' = 0 \) \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ 3(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = 1 \text{ hoặc } x = -1 \] Bước 3: Tìm đạo hàm bậc hai \[ y'' = 6x \] Bước 4: Thay các giá trị \( x = 1 \) và \( x = -1 \) vào \( y'' \) - Khi \( x = 1 \): \[ y''(1) = 6 \cdot 1 = 6 > 0 \] Hàm số có điểm cực tiểu tại \( x = 1 \). - Khi \( x = -1 \): \[ y''(-1) = 6 \cdot (-1) = -6 < 0 \] Hàm số có điểm cực đại tại \( x = -1 \). Bước 5: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 5 = 1 - 3 + 5 = 3 \] Điểm cực tiểu là \( (1, 3) \). - Tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1) + 5 = -1 + 3 + 5 = 7 \] Điểm cực đại là \( (-1, 7) \). Bài 2: Tìm cực trị của hàm số \( y = -x^3 + 3x^2 + 5 \) Bước 1: Tìm đạo hàm bậc nhất Ta có: \[ y' = -3x^2 + 6x \] Bước 2: Giải phương trình \( y' = 0 \) \[ -3x^2 + 6x = 0 \] \[ -3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Bước 3: Tìm đạo hàm bậc hai \[ y'' = -6x + 6 \] Bước 4: Thay các giá trị \( x = 0 \) và \( x = 2 \) vào \( y'' \) - Khi \( x = 0 \): \[ y''(0) = -6 \cdot 0 + 6 = 6 > 0 \] Hàm số có điểm cực tiểu tại \( x = 0 \). - Khi \( x = 2 \): \[ y''(2) = -6 \cdot 2 + 6 = -12 + 6 = -6 < 0 \] Hàm số có điểm cực đại tại \( x = 2 \). Bước 5: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = -0^3 + 3 \cdot 0^2 + 5 = 5 \] Điểm cực tiểu là \( (0, 5) \). - Tại \( x = 2 \): \[ y(2) = -(2)^3 + 3 \cdot (2)^2 + 5 = -8 + 12 + 5 = 9 \] Điểm cực đại là \( (2, 9) \). Câu hỏi trắc nghiệm: Điểm cực đại của đồ thị hàm số \( y = -x^3 + 3x + 1 \) là: Bước 1: Tìm đạo hàm bậc nhất Ta có: \[ y' = -3x^2 + 3 \] Bước 2: Giải phương trình \( y' = 0 \) \[ -3x^2 + 3 = 0 \] \[ -3(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = 1 \text{ hoặc } x = -1 \] Bước 3: Tìm đạo hàm bậc hai \[ y'' = -6x \] Bước 4: Thay các giá trị \( x = 1 \) và \( x = -1 \) vào \( y'' \) - Khi \( x = 1 \): \[ y''(1) = -6 \cdot 1 = -6 < 0 \] Hàm số có điểm cực đại tại \( x = 1 \). - Khi \( x = -1 \): \[ y''(-1) = -6 \cdot (-1) = 6 > 0 \] Hàm số có điểm cực tiểu tại \( x = -1 \). Bước 5: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = -(1)^3 + 3 \cdot 1 + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 \] Điểm cực đại là \( (1, 3) \). Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~Q(1;3) \] Câu 3: Để tìm điểm cực tiểu của hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x + 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x + 1\right) \] \[ y' = x^2 + 2x - 3 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm dừng: \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] Đây là phương trình bậc hai, ta giải nó bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -3 \): \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ x = \frac{-2 \pm 4}{2} \] Từ đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \] 3. Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số để kiểm tra tính chất của các điểm dừng: \[ y'' = \frac{d}{dx}(x^2 + 2x - 3) \] \[ y'' = 2x + 2 \] 4. Kiểm tra dấu của \( y'' \) tại các điểm dừng: - Tại \( x = 1 \): \[ y''(1) = 2(1) + 2 = 4 > 0 \] Vì \( y''(1) > 0 \), nên hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 1 \). - Tại \( x = -3 \): \[ y''(-3) = 2(-3) + 2 = -6 + 2 = -4 < 0 \] Vì \( y''(-3) < 0 \), nên hàm số đạt cực đại tại \( x = -3 \). Vậy, hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x + 1 \) đạt cực tiểu tại điểm \( x = 1 \). Đáp án đúng là: \( B.~x=1 \). Câu 4: Để tìm giá trị cực đại của hàm số \( y = x^3 - 3x + 2 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 2) = 3x^2 - 3 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ 3(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] 3. Xác định tính chất của các điểm tới hạn bằng cách xét dấu của đạo hàm hoặc sử dụng đạo hàm bậc hai: - Phương pháp đạo hàm bậc hai: \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 3) = 6x \] - Tại \( x = 1 \): \[ y''(1) = 6 \cdot 1 = 6 > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Hàm số có điểm cực tiểu tại } x = 1 \] - Tại \( x = -1 \): \[ y''(-1) = 6 \cdot (-1) = -6 < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Hàm số có điểm cực đại tại } x = -1 \] 4. Tính giá trị của hàm số tại điểm cực đại \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \] Vậy giá trị cực đại của hàm số \( y = x^3 - 3x + 2 \) là: \[ y_{CĐ} = 4 \] Đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~y_{CĐ}=4} \] Câu 5: Để tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số \( y = \frac{x-1}{4x+7} \), ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Hàm số \( y = \frac{x-1}{4x+7} \) là một phân thức, do đó ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức để tìm đạo hàm của nó. Đặt \( u = x - 1 \) và \( v = 4x + 7 \). Ta có: \[ u' = 1 \quad \text{và} \quad v' = 4 \] Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \): \[ y' = \frac{(1)(4x + 7) - (x - 1)(4)}{(4x + 7)^2} \] \[ y' = \frac{4x + 7 - 4x + 4}{(4x + 7)^2} \] \[ y' = \frac{11}{(4x + 7)^2} \] 2. Xác định các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định: - Đạo hàm \( y' = \frac{11}{(4x + 7)^2} \) luôn dương vì tử số \( 11 \) là hằng số dương và mẫu số \( (4x + 7)^2 \) luôn dương ngoại trừ khi \( 4x + 7 = 0 \). - Mẫu số \( 4x + 7 = 0 \) khi \( x = -\frac{7}{4} \). Tại \( x = -\frac{7}{4} \), hàm số không xác định. - Đạo hàm \( y' \) không bao giờ bằng 0 vì tử số \( 11 \) không bao giờ bằng 0. 3. Kết luận về các điểm cực trị: - Vì \( y' \) luôn dương ngoại trừ tại \( x = -\frac{7}{4} \) nơi mà hàm số không xác định, nên hàm số \( y = \frac{x-1}{4x+7} \) không có điểm cực trị. Do đó, đồ thị hàm số \( y = \frac{x-1}{4x+7} \) không có điểm cực trị. Đáp án: D. 0. Câu 6: Để tìm các điểm cực trị của hàm số \( y = x^4 - 2x^2 + 3 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2 + 3) = 4x^3 - 4x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 4x^3 - 4x = 0 \] Ta có thể nhân chia cả hai vế cho 4: \[ x^3 - x = 0 \] Đặt \( x \) ra ngoài: \[ x(x^2 - 1) = 0 \] Giải phương trình này: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 - 1 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] 3. Xác định tính chất của các điểm tới hạn bằng cách xét dấu của đạo hàm hoặc sử dụng đạo hàm bậc hai: - Đạo hàm bậc hai: \[ y'' = \frac{d}{dx}(4x^3 - 4x) = 12x^2 - 4 \] - Thay các giá trị \( x = 0, x = 1, x = -1 \) vào \( y'' \): \[ y''(0) = 12(0)^2 - 4 = -4 \quad (\text{dưới 0, nên \( x = 0 \) là điểm cực đại}) \] \[ y''(1) = 12(1)^2 - 4 = 8 \quad (\text{trên 0, nên \( x = 1 \) là điểm cực tiểu}) \] \[ y''(-1) = 12(-1)^2 - 4 = 8 \quad (\text{trên 0, nên \( x = -1 \) là điểm cực tiểu}) \] 4. Kết luận: Hàm số \( y = x^4 - 2x^2 + 3 \) có ba điểm cực trị: - Một điểm cực đại tại \( x = 0 \) - Hai điểm cực tiểu tại \( x = 1 \) và \( x = -1 \) Do đó, khẳng định đúng là: A. Hàm số có ba điểm cực trị. Câu 7: Để tìm số điểm cực trị của hàm số \( y = x^4 - 2x^2 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2) = 4x^3 - 4x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 4x^3 - 4x = 0 \] \[ 4x(x^2 - 1) = 0 \] \[ 4x(x - 1)(x + 1) = 0 \] Từ đó, ta có: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] 3. Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số: \[ y'' = \frac{d}{dx}(4x^3 - 4x) = 12x^2 - 4 \] 4. Xác định tính chất của các điểm tới hạn bằng cách thay các giá trị \( x = 0, 1, -1 \) vào đạo hàm bậc hai: - Tại \( x = 0 \): \[ y''(0) = 12(0)^2 - 4 = -4 < 0 \] Do đó, \( x = 0 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 1 \): \[ y''(1) = 12(1)^2 - 4 = 12 - 4 = 8 > 0 \] Do đó, \( x = 1 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = -1 \): \[ y''(-1) = 12(-1)^2 - 4 = 12 - 4 = 8 > 0 \] Do đó, \( x = -1 \) là điểm cực tiểu. 5. Kết luận: Hàm số \( y = x^4 - 2x^2 \) có 3 điểm cực trị: 1 điểm cực đại tại \( x = 0 \) và 2 điểm cực tiểu tại \( x = 1 \) và \( x = -1 \). Đáp án đúng là: C. 3. Câu 8: Để tìm điểm cực tiểu của hàm số \( y = x\sqrt{4 - x^2} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm miền xác định (ĐKXĐ): Hàm số \( y = x\sqrt{4 - x^2} \) có nghĩa khi \( 4 - x^2 \geq 0 \). Do đó: \[ 4 - x^2 \geq 0 \implies x^2 \leq 4 \implies -2 \leq x \leq 2 \] Vậy miền xác định của hàm số là \( [-2, 2] \). 2. Tính đạo hàm \( y' \): Ta có: \[ y = x\sqrt{4 - x^2} \] Áp dụng công thức đạo hàm của tích hai hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x) \cdot \sqrt{4 - x^2} + x \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{4 - x^2}) \] \[ y' = \sqrt{4 - x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{4 - x^2}} \] \[ y' = \sqrt{4 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{4 - x^2}} \] \[ y' = \frac{(4 - x^2) - x^2}{\sqrt{4 - x^2}} = \frac{4 - 2x^2}{\sqrt{4 - x^2}} \] 3. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{4 - 2x^2}{\sqrt{4 - x^2}} = 0 \] \[ 4 - 2x^2 = 0 \implies 2x^2 = 4 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2} \] 4. Kiểm tra dấu của \( y' \) để xác định điểm cực tiểu: - Khi \( x \) thay đổi từ \(-2\) đến \(\sqrt{2}\), \( y' \) chuyển từ âm sang dương, tức là hàm số tăng. - Khi \( x \) thay đổi từ \(\sqrt{2}\) đến \(2\), \( y' \) chuyển từ dương sang âm, tức là hàm số giảm. Do đó, tại \( x = \sqrt{2} \), hàm số đạt cực đại. Tương tự, tại \( x = -\sqrt{2} \), hàm số đạt cực tiểu. 5. Kết luận: Điểm cực tiểu của hàm số \( y = x\sqrt{4 - x^2} \) là \( x = -\sqrt{2} \). Đáp án đúng là: \[ C.~x = -\sqrt{2} \]