Bài 7. (3,0 điểm) Cho đường tròn $(O ; R)$ có đường kính $A C$ và đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đường tròn $(\mathrm{O})$ tại A . Trên đường thẳng d lấy điểm M khác A sao cho $\mathrm{AM}\mathrm{AO}$. Từ điểm M vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn $(\mathrm{O})$ (B là tiếp điểm, B khác A ).
a) Chứng minh bốn điểm $\mathrm{M}, \mathrm{A}, \mathrm{O}, \mathrm{B}$ cùng thuộc một đường tròn và $\mathrm{OM} \perp \mathrm{AB}$.
b) Gọi D là giao điểm của đoạn MO với đường tròn $(\mathrm{O})$. Tia AD cắt đoạn thẳng MB tại E . Chứng minh rằng $\mathrm{EB}^2=\mathrm{EA} . \mathrm{ED}$.
c) Đường phân giác trong góc B của tam giác ABC cắt đường tròn $(\mathrm{O} ; \mathrm{R})$ tại K ( K khác B ). Kẻ $\mathrm{BI} \perp \mathrm{AC}(\mathrm{I} \in \mathrm{AC}) . \mathrm{Đ}$ ặt $\mathrm{BI}=\mathrm{x}$, tính diện tích tam giác BIK theo R và x .

Question

Bài 7. (3,0 điểm) Cho đường tròn $(O ; R)$ có đường kính $A C$ và đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đường tròn $(\mathrm{O})$ tại A . Trên đường thẳng d lấy điểm M khác A sao cho $\mathrm{AM}>\mathrm{AO}$. Từ điểm M vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn $(\mathrm{O})$ (B là tiếp điểm, B khác A ).
a) Chứng minh bốn điểm $\mathrm{M}, \mathrm{A}, \mathrm{O}, \mathrm{B}$ cùng thuộc một đường tròn và $\mathrm{OM} \perp \mathrm{AB}$.
b) Gọi D là giao điểm của đoạn MO với đường tròn $(\mathrm{O})$. Tia AD cắt đoạn thẳng MB tại E . Chứng minh rằng $\mathrm{EB}^2=\mathrm{EA} . \mathrm{ED}$.
c) Đường phân giác trong góc B của tam giác ABC cắt đường tròn $(\mathrm{O} ; \mathrm{R})$ tại K ( K khác B ). Kẻ $\mathrm{BI} \perp \mathrm{AC}(\mathrm{I} \in \mathrm{AC}) . \mathrm{Đ}$ ặt $\mathrm{BI}=\mathrm{x}$, tính diện tích tam giác BIK theo R và x .

Accepted Answer

a)

$MA$ là tiếp tuyến của $(O) \implies \widehat{MAO} = 90^\circ$

$MB$ là tiếp tuyến của $(O) \implies \widehat{MBO} = 90^\circ$

Xét tứ giác MAOB: $\widehat{MAO} + \widehat{MBO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

$\implies$ Tứ giác MAOB nội tiếp

Ta có: $MA = MB$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và $OA = OB = R$

$\implies$ OM là đường trung trực của AB.

$\implies OM \perp AB$

b)

Xét (O): $\widehat{EBD} = \widehat{EAB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BD)

Xét $\Delta EBD$ và $\Delta EAB$:

$\widehat{AEB}$ chung

$\widehat{EBD} = \widehat{EAB}$ (cmt)

$\implies \Delta EBD \sim \Delta EAB$ (g.g)

$\implies \frac{EB}{EA} = \frac{ED}{EB}$

$\implies EB^2 = EA \cdot ED$

c)

BK là phân giác $\widehat{ABC} \implies$ K là điểm chính giữa cung AC

$\implies OK \perp AC$

Mà $BI \perp AC$ (gt)

$\implies BI \parallel OK$

$S_{BIK} = \frac{1}{2} \cdot BI \cdot d(K, BI)$

Do $BI \parallel OK \implies d(K, BI) = d(O, BI) = OI$

Xét $\Delta OIB$ vuông tại I:

$OB^2 = OI^2 + BI^2$ (Định lý Pytago)

$R^2 = OI^2 + x^2 \implies OI = \sqrt{R^2 - x^2}$

Vậy $S_{BIK} = \frac{1}{2} \cdot BI \cdot OI = \frac{1}{2}x\sqrt{R^2 - x^2}$

Bài 7. (3,0 điểm) Cho đường tròn có đường kính và đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn tại A . Trên đường thẳng d lấy điểm M khác A sao cho...