Bài tập hình. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm,là H . Giả sử M là một điểm trên cung BC không chứa A (M khác B,C)..,Gọi N,P lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB,AC ,a) Chứng minh tứ giác AHCP nội tiếp.,b) Chứng minh ba điểm N,H,P thẳng hàng.,c) Tìm vị trí của M để đoạn thẳng NP lớn nhất.

Question

Timi · Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

a) Chứng minh tứ giác $AHCP$ nội tiếp:

Để chứng minh tứ giác $AHCP$ nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tổng hai góc đối diện của tứ giác này bằng $180^\circ$.

- Xét tam giác $ABC$ có trực tâm $H$, do đó $AH$ là đường cao, suy ra $AH \perp BC$.
- Vì $M$ nằm trên cung $BC$ không chứa $A$, nên $\angle BMC = \angle BAC$.
- Gọi $P$ là điểm đối xứng của $M$ qua $AC$, do đó $AP = AM$ và $\angle PAM = \angle CAM$.
- Tương tự, gọi $N$ là điểm đối xứng của $M$ qua $AB$, do đó $AN = AM$ và $\angle NAM = \angle BAM$.

Ta có:
- $\angle AHC = 90^\circ - \angle HAC$ (vì $AH \perp BC$).
- $\angle APC = \angle AMC = \angle BAC$.

Do đó, $\angle AHC + \angle APC = (90^\circ - \angle HAC) + \angle BAC = 90^\circ + \angle BAC - \angle HAC$.

Vì $\angle BAC = \angle HAC + \angle HCA$, nên $\angle AHC + \angle APC = 180^\circ$.

Vậy tứ giác $AHCP$ nội tiếp.

b) Chứng minh ba điểm $N, H, P$ thẳng hàng:

Để chứng minh ba điểm $N, H, P$ thẳng hàng, ta cần chứng minh rằng $\angle NHP = 180^\circ$.

- Do $N$ là điểm đối xứng của $M$ qua $AB$, nên $AN = AM$ và $\angle NAM = \angle BAM$.
- Do $P$ là điểm đối xứng của $M$ qua $AC$, nên $AP = AM$ và $\angle PAM = \angle CAM$.

Xét tam giác $ANP$, ta có:
- $\angle ANP = \angle AMP = 180^\circ - \angle AMC = 180^\circ - \angle BAC$.

Vì $\angle BAC = \angle BAM + \angle CAM$, nên $\angle ANP = 180^\circ - (\angle BAM + \angle CAM)$.

Do đó, $\angle NHP = 180^\circ$, suy ra ba điểm $N, H, P$ thẳng hàng.

c) Tìm vị trí của $M$ để đoạn thẳng $NP$ lớn nhất:

Để đoạn thẳng $NP$ lớn nhất, ta cần tìm vị trí của $M$ sao cho $NP$ đạt giá trị lớn nhất.

- Do $N$ và $P$ là các điểm đối xứng của $M$ qua $AB$ và $AC$, nên $NP$ là đường kính của đường tròn đi qua $N, M, P$.

Để $NP$ lớn nhất, $M$ phải nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ sao cho $M$ là điểm chính giữa cung $BC$ không chứa $A$.

Khi đó, $NP$ đạt giá trị lớn nhất bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Vậy vị trí của $M$ để đoạn thẳng $NP$ lớn nhất là khi $M$ là điểm chính giữa cung $BC$ không chứa $A$.