Tìm min T.

Câu 30: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( T = 3\log_2a - 12\log_2b \). Bước 1: Xác định tọa độ các điểm M, N, P, Q - Điểm \( M \) thuộc đường cong \( y = a^x \) và đường thẳng \( y = 4 \), do đó \( a^x = 4 \). Suy ra \( x = \log_a 4 \). - Điểm \( Q \) thuộc đường cong \( y = a^x \) và đường thẳng \( y = 8 \), do đó \( a^x = 8 \). Suy ra \( x = \log_a 8 \). - Điểm \( N \) thuộc đường cong \( y = b^x \) và đường thẳng \( y = 4 \), do đó \( b^x = 4 \). Suy ra \( x = \log_b 4 \). - Điểm \( P \) thuộc đường cong \( y = b^x \) và đường thẳng \( y = 8 \), do đó \( b^x = 8 \). Suy ra \( x = \log_b 8 \). Bước 2: Tính diện tích hình thang Diện tích hình thang \( MNPQ \) được tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \times (MN + PQ) \times (8 - 4) \] Với: - \( MN = \log_b 4 - \log_a 4 \) - \( PQ = \log_b 8 - \log_a 8 \) Do diện tích hình thang bằng 30, ta có: \[ \frac{1}{2} \times ((\log_b 4 - \log_a 4) + (\log_b 8 - \log_a 8)) \times 4 = 30 \] Suy ra: \[ (\log_b 4 - \log_a 4) + (\log_b 8 - \log_a 8) = 15 \] Bước 3: Biểu diễn \( T \) theo \( a \) và \( b \) Ta có: \[ T = 3\log_2a - 12\log_2b = 3 \times \frac{\log a}{\log 2} - 12 \times \frac{\log b}{\log 2} \] Suy ra: \[ T = \frac{3\log a - 12\log b}{\log 2} \] Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( T \) Từ phương trình diện tích, ta có: \[ \log_b 4 + \log_b 8 - \log_a 4 - \log_a 8 = 15 \] Đặt \( x = \log_2 a \) và \( y = \log_2 b \), ta có: \[ \log_a 4 = \frac{2}{x}, \quad \log_a 8 = \frac{3}{x}, \quad \log_b 4 = \frac{2}{y}, \quad \log_b 8 = \frac{3}{y} \] Thay vào phương trình diện tích: \[ \frac{2}{y} + \frac{3}{y} - \frac{2}{x} - \frac{3}{x} = 15 \] Suy ra: \[ \frac{5}{y} - \frac{5}{x} = 15 \] \[ \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = 3 \] Từ đó, ta có: \[ x - y = 3xy \] Biểu thức \( T \) trở thành: \[ T = 3x - 12y \] Thay \( x = y + 3xy \) vào: \[ T = 3(y + 3xy) - 12y = 3y + 9xy - 12y = 9xy - 9y \] Đặt \( z = xy \), ta có: \[ T = 9z - 9y \] Với \( x - y = 3z \), ta có: \[ T = 9z - 9(y + 3z) = -9y \] Để \( T \) nhỏ nhất, \( y \) phải lớn nhất. Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( T \) là khi \( y \) đạt giá trị lớn nhất có thể. Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của \( T \) là \( -9 \) khi \( y \) đạt giá trị lớn nhất.