Tìm các giá trị nguyên của m.

Câu 31: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) của bất phương trình. 2. Biến đổi bất phương trình về dạng dễ dàng hơn để tìm giá trị của tham số \( m \). Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Bất phương trình ban đầu là: \[ 1 + \log_6(x^2 + 1) \geq \log_6(mx^2 + 2x + m). \] Điều kiện xác định của \(\log_6(mx^2 + 2x + m)\) là: \[ mx^2 + 2x + m > 0. \] Bước 2: Biến đổi bất phương trình Chúng ta biết rằng \( 1 = \log_6(6) \), do đó: \[ \log_6(6) + \log_6(x^2 + 1) \geq \log_6(mx^2 + 2x + m). \] Sử dụng tính chất của logarit: \[ \log_6(6(x^2 + 1)) \geq \log_6(mx^2 + 2x + m). \] Do tính chất của logarit, nếu \( \log_a(b) \geq \log_a(c) \) thì \( b \geq c \) (với \( a > 1 \)): \[ 6(x^2 + 1) \geq mx^2 + 2x + m. \] Biến đổi bất phương trình: \[ 6x^2 + 6 \geq mx^2 + 2x + m. \] Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ 6x^2 + 6 - mx^2 - 2x - m \geq 0. \] Gộp các hạng tử tương tự: \[ (6 - m)x^2 - 2x + (6 - m) \geq 0. \] Bước 3: Tìm giá trị của \( m \) Để bất phương trình trên nghiệm đúng với mọi \( x \in \mathbb{R} \), biểu thức bậc hai \( (6 - m)x^2 - 2x + (6 - m) \) phải luôn không âm. Điều này xảy ra khi: 1. Hệ số của \( x^2 \) phải dương: \( 6 - m > 0 \) hay \( m < 6 \). 2. Biểu thức bậc hai phải không có nghiệm thực, tức là biệt số \( \Delta \leq 0 \). Tính biệt số \( \Delta \): \[ \Delta = (-2)^2 - 4(6 - m)(6 - m) = 4 - 4(6 - m)^2. \] Yêu cầu \( \Delta \leq 0 \): \[ 4 - 4(6 - m)^2 \leq 0. \] \[ 1 - (6 - m)^2 \leq 0. \] \[ (6 - m)^2 \geq 1. \] Giải bất phương trình: \[ 6 - m \geq 1 \quad \text{hoặc} \quad 6 - m \leq -1. \] \[ m \leq 5 \quad \text{hoặc} \quad m \geq 7. \] Kết hợp với điều kiện \( m < 6 \): \[ m \leq 5. \] Kết luận Các giá trị nguyên của \( m \) thỏa mãn điều kiện \( m \leq 5 \) là: \[ m = 0, 1, 2, 3, 4, 5. \] Vậy có 6 giá trị nguyên của \( m \) để bất phương trình nghiệm đúng với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Đáp án: Có 6 giá trị nguyên của \( m \).