Tìm min S. Cho hai số thực a, b đều lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=\frac1{\log_{ab}a}+\frac1{\log_{\sqrt[4]{ab}}b}.$

Question

Vu Nguyen · Accepted Answer

đk: $a > 1, b > 1$.

$$ S = \frac{1}{\log_{ab} a} + \frac{1}{\log_{\sqrt{ab}} b} $$

$$ S = \log_a(ab) + \log_b(\sqrt{ab}) $$

$$ S = \log_a a + \log_a b + \frac{1}{4}\log_b(ab) $$

$$ S = 1 + \log_a b + \frac{1}{4}(\log_b a + \log_b b) $$

$$ S = 1 + \log_a b + \frac{1}{4}\log_b a + \frac{1}{4} $$

$$ S = \frac{5}{4} + \log_a b + \frac{1}{4}\log_b a $$

Đặt $x = \log_a b$. Do $a, b > 1$ nên $x > 0$.

$$ S = \frac{5}{4} + x + \frac{1}{4x} $$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương $x$ và $\frac{1}{4x}$:

$$ x + \frac{1}{4x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{4x}} = 2\sqrt{\frac{1}{4}} = 1 $$

Suy ra:

$$ S \ge \frac{5}{4} + 1 = \frac{9}{4} $$

Giá trị nhỏ nhất của $S$ là $\frac{9}{4}$.

Dấu "=" xảy ra khi $x = \frac{1}{4x} \Leftrightarrow 4x^2 = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ (do $x>0$).

tương đương với $\log_a b = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a = b^2$.

Timi · Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ S = \frac{1}{\log_{ab}a} + \frac{1}{\log_{\sqrt[4]{ab}}b} $, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit và bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Trước tiên, chúng ta chuyển đổi các logarit trong biểu thức $ S $:

1. Chuyển đổi $ \log_{ab}a $:
   $$
   \log_{ab}a = \frac{\log a}{\log ab}
   $$
   Vì $ ab = a \cdot b $, nên:
   $$
   \log ab = \log a + \log b
   $$
   Do đó:
   $$
   \log_{ab}a = \frac{\log a}{\log a + \log b}
   $$

2. Chuyển đổi $ \log_{\sqrt[4]{ab}}b $:
   $$
   \log_{\sqrt[4]{ab}}b = \frac{\log b}{\log (\sqrt[4]{ab})}
   $$
   Vì $ \sqrt[4]{ab} = (ab)^{1/4} $, nên:
   $$
   \log (\sqrt[4]{ab}) = \log (ab)^{1/4} = \frac{1}{4} \log ab = \frac{1}{4} (\log a + \log b)
   $$
   Do đó:
   $$
   \log_{\sqrt[4]{ab}}b = \frac{\log b}{\frac{1}{4} (\log a + \log b)} = \frac{4 \log b}{\log a + \log b}
   $$

Bây giờ, chúng ta thay các kết quả này vào biểu thức $ S $:
$$
S = \frac{1}{\log_{ab}a} + \frac{1}{\log_{\sqrt[4]{ab}}b} = \frac{\log a + \log b}{\log a} + \frac{\log a + \log b}{4 \log b}
$$

Đặt $ x = \log a $ và $ y = \log b $. Khi đó, biểu thức $ S $ trở thành:
$$
S = \frac{x + y}{x} + \frac{x + y}{4y} = 1 + \frac{y}{x} + \frac{x}{4y} + \frac{1}{4}
$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các số dương $ \frac{y}{x} $ và $ \frac{x}{4y} $:
$$
\frac{y}{x} + \frac{x}{4y} \geq 2 \sqrt{\frac{y}{x} \cdot \frac{x}{4y}} = 2 \sqrt{\frac{1}{4}} = 1
$$

Do đó:
$$
S \geq 1 + 1 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}
$$

Đẳng thức xảy ra khi $ \frac{y}{x} = \frac{x}{4y} $, tức là $ x^2 = 4y^2 $ hoặc $ x = 2y $. Điều này tương đương với $ \log a = 2 \log b $ hoặc $ a = b^2 $.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $ S $ là $ \frac{9}{4} $, đạt được khi $ a = b^2 $.

Đáp án cuối cùng:
$$
\boxed{\frac{9}{4}}
$$