THI VÀO 10 THCS&THPT NGUYỄN TẤT THÀNH 2024 - Đề số 2 (Tiếp)

Câu 9: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. 1) Chứng minh hai tứ giác AEHF và BCEF nội tiếp: - Tứ giác AEHF nội tiếp: - Vì AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC, nên H là trực tâm của tam giác ABC. - Do đó, góc $$. - Tứ giác AEHF có hai góc đối diện cùng bằng $$, nên tứ giác này nội tiếp. - Tứ giác BCEF nội tiếp: - Vì E và F là chân các đường cao từ B và C, nên $$. - Tứ giác BCEF có hai góc đối diện cùng bằng $$, nên tứ giác này nội tiếp. 2) Chứng minh $$ và $$: - Chứng minh $$: - Vì tứ giác BCEF nội tiếp, theo định lý về tứ giác nội tiếp, ta có: $$ - Chứng minh $$: - Theo định lý về đường tròn, vì K là điểm chung của đường tròn (O) và đường thẳng AI, ta có: $$ - Chứng minh $$: - Vì K là điểm đối xứng của H qua đường thẳng AI (do AI là trục đối xứng của đường tròn Euler của tam giác ABC), nên $$. 3) Chứng minh trung điểm của BC thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác KFC: - Gọi M là trung điểm của BC. - Vì M là trung điểm của BC, nên M là tâm của đường tròn Euler của tam giác ABC. - Đường tròn Euler của tam giác ABC đi qua các điểm H, K, và M. - Do đó, M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác KFC. Với các lập luận trên, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán. Câu 10: 1) Ta có $$ $$ Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.