Giúp mình với! Bài 16. Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) bán kính bằng R lấy điểm I sao cho $AI=R\sqrt3.$ Lấy điểm B khác A và thuộc (O) sao cho $IB=IA.$,1) Tính tan AIO .,2) Tính AIB và chứng minh: IB tiếp xúc với (O).,3) Kéo dài BO cắt tia IA ở K . Dùng tỉ số lượng giác, hãy tính các cạnh của $\Delta IBK$ theo R

Question

Giúp mình với! Bài 16. Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) bán kính bằng R  lấy điểm I sao cho $AI=R\sqrt3.$ Lấy điểm B khác A và thuộc (O) sao cho $IB=IA.$,1) Tính tan AIO .,2) Tính AIB và chứng minh: IB tiếp xúc với (O).,3) Kéo dài BO cắt tia IA ở K . Dùng tỉ số lượng giác, hãy tính các cạnh của $\Delta IBK$ theo R

Accepted Answer

Bài 16:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

1) Tính $\tan \angle AIO$:

- Gọi $O$ là tâm của đường tròn, $A$ là điểm tiếp xúc, và $I$ là điểm trên tiếp tuyến sao cho $AI = R\sqrt{3}$.
- Vì $IA$ là tiếp tuyến tại $A$, nên $\angle OAI = 90^\circ$.
- Trong tam giác vuông $OAI$, ta có:
  $$
  \tan \angle AIO = \frac{AI}{OA} = \frac{R\sqrt{3}}{R} = \sqrt{3}
  $$

2) Tính $\angle AIB$ và chứng minh $IB$ tiếp xúc với $(O)$:

- Do $IB = IA$ và $IA$ là tiếp tuyến tại $A$, nên tam giác $AIB$ là tam giác cân tại $I$.
- $\angle AIB = 2 \times \angle IAO = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$.
- Để chứng minh $IB$ tiếp xúc với $(O)$, ta cần chứng minh $\angle IBO = 90^\circ$.
- Vì $IB = IA$ và $\angle AIB = 60^\circ$, nên $\angle IBO = 90^\circ$.
- Do đó, $IB$ tiếp xúc với $(O)$.

3) Kéo dài $BO$ cắt tia $IA$ ở $K$. Tính các cạnh của $\Delta IBK$ theo $R$:

- Gọi $K$ là giao điểm của tia $IA$ và đường thẳng $BO$.
- Trong tam giác $IBK$, ta có:
  - $IB = IA = R\sqrt{3}$.
  - $\angle IBO = 90^\circ$, nên $\angle BIK = 30^\circ$.
- Sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông $IBK$:
  - $\sin \angle BIK = \frac{BK}{IB} = \frac{1}{2}$, do đó $BK = \frac{1}{2} \times R\sqrt{3} = \frac{R\sqrt{3}}{2}$.
  - $\cos \angle BIK = \frac{IK}{IB} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, do đó $IK = \frac{\sqrt{3}}{2} \times R\sqrt{3} = \frac{3R}{2}$.

Vậy các cạnh của $\Delta IBK$ là:
- $IB = R\sqrt{3}$
- $BK = \frac{R\sqrt{3}}{2}$
- $IK = \frac{3R}{2}$