Tìm các giá trị m. b) Cho phương trình $(m+1+\log_3x)(2m-1+\log_3x)=0$ (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị,của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $3(x_1+x_2)\geq10.$

Question

Nguyễn Hoàng Hải Nam · Accepted Answer

{"userId":5419856,"userName":"Ninh Hoàng"}

Cho phương trình (m+1+log₃x)(2m–1+log₃x)=0 ta có hai nghiệm

log₃x₁=–(m+1) ⇒ x₁=3^(–(m+1)) log₃x₂=–(2m–1) ⇒ x₂=3^(–(2m–1))

Hai nghiệm phân biệt ⇔ –(m+1)≠–(2m–1) ⇔ m≠2 (với m≤0 tự động thỏa)

Điều kiện kèm theo 3(x₁+x₂)≥10 ⇔ x₁+x₂≥10/3

Đặt t=3^(–m)>0 thì x₁=3^(–(m+1))=t/3 x₂=3^(–(2m–1))=3·t² ⇒ x₁+x₂ = t/3 + 3t²

Yêu cầu t/3 + 3t² ≥10/3 ⇒ t + 9t² ≥10 ⇒ 9t² + t –10 ≥0 Giải 9t² + t –10 = 0 được t=1 (loại nghiệm âm) Vì hệ số bậc hai dương nên 9t²+t–10≥0 ⇔ t≥1 ⇔ 3^(–m) ≥1 ⇔ –m ≥0 ⇔ m ≤0

Vậy tập giá trị của m thỏa đề là m ≤ 0.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình.
2. Giải phương trình để tìm nghiệm $ x_1 $ và $ x_2 $.
3. Áp dụng điều kiện $ 3(x_1 + x_2) \geq 10 $ để tìm các giá trị của $ m $.

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
Phương trình có chứa logarit, do đó $ x > 0 $.

Bước 2: Giải phương trình
Phương trình đã cho là:
$$
(m+1+\log_3x)(2m-1+\log_3x)=0
$$
Phương trình này sẽ bằng 0 nếu ít nhất một trong hai nhân tử bằng 0. Do đó, ta có hai trường hợp:
$$
m+1+\log_3x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2m-1+\log_3x = 0
$$

Trường hợp 1:
$$
m+1+\log_3x = 0 \implies \log_3x = -m-1 \implies x = 3^{-m-1}
$$

Trường hợp 2:
$$
2m-1+\log_3x = 0 \implies \log_3x = -2m+1 \implies x = 3^{-2m+1}
$$

Vậy, hai nghiệm của phương trình là:
$$
x_1 = 3^{-m-1} \quad \text{và} \quad x_2 = 3^{-2m+1}
$$

Bước 3: Áp dụng điều kiện $ 3(x_1 + x_2) \geq 10 $
Ta có:
$$
3(x_1 + x_2) \geq 10 \implies 3(3^{-m-1} + 3^{-2m+1}) \geq 10
$$

Đặt $ y = 3^{-m} $, ta có:
$$
3^{-m-1} = 3^{-m} \cdot 3^{-1} = \frac{y}{3} \quad \text{và} \quad 3^{-2m+1} = 3^{-2m} \cdot 3^{1} = 3y^2
$$

Do đó:
$$
3 \left( \frac{y}{3} + 3y^2 \right) \geq 10 \implies y + 9y^2 \geq 10
$$

Giải bất phương trình:
$$
9y^2 + y - 10 \geq 0
$$

Tìm nghiệm của phương trình $ 9y^2 + y - 10 = 0 $:
$$
y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 360}}{18} = \frac{-1 \pm \sqrt{361}}{18} = \frac{-1 \pm 19}{18}
$$

Do đó:
$$
y = \frac{18}{18} = 1 \quad \text{hoặc} \quad y = \frac{-20}{18} = -\frac{10}{9}
$$

Vì $ y = 3^{-m} > 0 $, ta chỉ xét $ y = 1 $:
$$
3^{-m} = 1 \implies -m = 0 \implies m = 0
$$

Vậy, giá trị của $ m $ là:
$$
m = 0
$$

Đáp số: $ m = 0 $