Giải hộ mình câu này với các bạn, câu 1 ạ

Bài 1: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Tính \(\tan\) của góc giữa \(SB\) và \((ABC)\) 1. Xác định hình chiếu của \(SB\) lên \((ABC)\): Vì \(SA \perp (ABC)\), nên hình chiếu của \(S\) lên \((ABC)\) chính là điểm \(A\). Do đó, hình chiếu của \(SB\) lên \((ABC)\) là đoạn thẳng \(AB\). 2. Tính \(\tan\) của góc giữa \(SB\) và \((ABC)\): Góc giữa \(SB\) và \((ABC)\) là góc \(\angle SBA\). Ta có: \[ \tan \angle SBA = \frac{SA}{AB} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2} \] b) Tính góc giữa \(SC\) và \((ABC)\), \(SC\) và \((SAB)\) 1. Góc giữa \(SC\) và \((ABC)\): Tương tự như phần a, hình chiếu của \(SC\) lên \((ABC)\) là đoạn thẳng \(AC\). Góc giữa \(SC\) và \((ABC)\) là góc \(\angle SCA\). Ta có: \[ \tan \angle SCA = \frac{SA}{AC} = \frac{a}{a\sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}} \] 2. Góc giữa \(SC\) và \((SAB)\): Hình chiếu của \(SC\) lên \((SAB)\) là đoạn thẳng \(SA\). Góc giữa \(SC\) và \((SAB)\) là góc \(\angle SCA\). Vì \(SA \perp (ABC)\), nên góc này là góc vuông. Do đó: \[ \angle SCA = 90^\circ \] c) Tính góc giữa hai mặt phẳng \((SBC)\) và \((ABC)\) 1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: Giao tuyến của \((SBC)\) và \((ABC)\) là đường thẳng \(BC\). 2. Xác định góc giữa hai mặt phẳng: Góc giữa hai mặt phẳng \((SBC)\) và \((ABC)\) là góc giữa hai đường thẳng vuông góc với \(BC\) trong mỗi mặt phẳng. Trong \((SBC)\), đường vuông góc với \(BC\) là \(SC\), và trong \((ABC)\), đường vuông góc với \(BC\) là \(SA\). Do đó, góc giữa hai mặt phẳng là góc \(\angle SCA\), mà ta đã tính ở phần b là: \[ \tan \angle SCA = \frac{1}{\sqrt{7}} \] Vậy, các kết quả là: - \(\tan\) của góc giữa \(SB\) và \((ABC)\) là \(\frac{1}{2}\). - \(\tan\) của góc giữa \(SC\) và \((ABC)\) là \(\frac{1}{\sqrt{7}}\). - Góc giữa \(SC\) và \((SAB)\) là \(90^\circ\). - Góc giữa hai mặt phẳng \((SBC)\) và \((ABC)\) là góc có \(\tan\) bằng \(\frac{1}{\sqrt{7}}\). Bài 2: Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau: a) Tính cosin góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) 1. Xác định các yếu tố trong không gian: - Tam giác ABC vuông tại B, với $AB = a$ và $BC = a\sqrt{3}$. - $SA \bot (ABC)$, do đó $SA$ là đường cao từ S xuống mặt phẳng (ABC). 2. Tính độ dài $AC$: - Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a. \] 3. Tính độ dài $SB$: - Do $SB$ tạo với mặt phẳng (ABC) một góc $60^\circ$, ta có: \[ \cos 60^\circ = \frac{AB}{SB} = \frac{a}{SB} = \frac{1}{2}. \] - Suy ra $SB = 2a$. 4. Tính cosin góc giữa SC và mặt phẳng (ABC): - Ta cần tính độ dài $SC$. Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông SAC: \[ SC = \sqrt{SA^2 + AC^2}. \] - Vì $SA \bot (ABC)$, ta có $SA = \sqrt{SB^2 - AB^2} = \sqrt{(2a)^2 - a^2} = \sqrt{4a^2 - a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$. - Do đó: \[ SC = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + (2a)^2} = \sqrt{3a^2 + 4a^2} = \sqrt{7a^2} = a\sqrt{7}. \] - Cosin góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là: \[ \cos \theta = \frac{SA}{SC} = \frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}. \] b) Tính cosin góc giữa SM và mặt phẳng (ABC) 1. Xác định vị trí của M: - M là trung điểm của BC, do đó $BM = MC = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. 2. Tính độ dài $SM$: - Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông SBM: \[ SM = \sqrt{SB^2 + BM^2} = \sqrt{(2a)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2}. \] - Tính toán: \[ SM = \sqrt{4a^2 + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{\frac{16a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{\frac{19a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{19}}{2}. \] 3. Tính cosin góc giữa SM và mặt phẳng (ABC): - Cosin góc giữa SM và mặt phẳng (ABC) là: \[ \cos \phi = \frac{SA}{SM} = \frac{a\sqrt{3}}{\frac{a\sqrt{19}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{19}}. \] Vậy, cosin góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$, và cosin góc giữa SM và mặt phẳng (ABC) là $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$. Bài 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Tính góc giữa \( SB \) và mặt phẳng \( (ABCD) \) Vì \( SA \perp (ABCD) \), nên \( SA \) là đường cao của hình chóp. Do đó, góc giữa \( SB \) và mặt phẳng \( (ABCD) \) chính là góc giữa \( SB \) và hình chiếu của nó trên mặt phẳng \( (ABCD) \), tức là đoạn \( AB \). Ta có tam giác vuông \( SAB \) với \( SA \perp AB \). Do đó, góc giữa \( SB \) và mặt phẳng \( (ABCD) \) là góc \( \angle SBA \). Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( SAB \): \[ SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{h^2 + (2a)^2} = \sqrt{h^2 + 4a^2} \] Góc \( \angle SBA \) có: \[ \cos \angle SBA = \frac{AB}{SB} = \frac{2a}{\sqrt{h^2 + 4a^2}} \] b) Tính \(\tan\) góc giữa \( SI \) và mặt phẳng \( (ABCD) \) Điểm \( I \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( I \) có tọa độ \( I\left(\frac{2a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) = (a, \frac{a}{2}, 0) \). Đường thẳng \( SI \) có phương trình: - \( S(0, 0, h) \) - \( I(a, \frac{a}{2}, 0) \) Vector chỉ phương của \( SI \) là \( \overrightarrow{SI} = (a, \frac{a}{2}, -h) \). Góc giữa \( SI \) và mặt phẳng \( (ABCD) \) là góc giữa \( \overrightarrow{SI} \) và vector pháp tuyến của mặt phẳng \( (ABCD) \), tức là vector \( \overrightarrow{n} = (0, 0, 1) \). Ta có: \[ \tan \theta = \frac{\sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}}{h} = \frac{\sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}}}{h} = \frac{\sqrt{\frac{5a^2}{4}}}{h} = \frac{\frac{\sqrt{5}a}{2}}{h} = \frac{\sqrt{5}a}{2h} \] c) Tính góc giữa \( SA \) và mặt phẳng \( (SCD) \) Mặt phẳng \( (SCD) \) có vector pháp tuyến là \( \overrightarrow{n_{SCD}} = \overrightarrow{SC} \times \overrightarrow{SD} \). Tính các vector: - \( \overrightarrow{SC} = (2a, a, -h) \) - \( \overrightarrow{SD} = (0, a, -h) \) Tích có hướng: \[ \overrightarrow{n_{SCD}} = \overrightarrow{SC} \times \overrightarrow{SD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2a & a & -h \\ 0 & a & -h \end{vmatrix} = (ah, 2ah, 2a^2) \] Góc giữa \( SA \) và mặt phẳng \( (SCD) \) là góc giữa \( \overrightarrow{SA} = (0, 0, h) \) và \( \overrightarrow{n_{SCD}} \). \[ \cos \theta = \frac{|0 \cdot ah + 0 \cdot 2ah + h \cdot 2a^2|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + h^2} \cdot \sqrt{(ah)^2 + (2ah)^2 + (2a^2)^2}} = \frac{2a^2h}{h \cdot \sqrt{a^2h^2 + 4a^2h^2 + 4a^4}} \] \[ = \frac{2a^2}{\sqrt{5a^2h^2 + 4a^4}} = \frac{2a^2}{a\sqrt{5h^2 + 4a^2}} = \frac{2a}{\sqrt{5h^2 + 4a^2}} \] d) Tính góc giữa \( (SCD), (SBC), (SBD) \) với mặt phẳng \( (ABCD) \) Tương tự như phần c), ta tính góc giữa các mặt phẳng này với mặt phẳng \( (ABCD) \) bằng cách sử dụng vector pháp tuyến của từng mặt phẳng. - Góc giữa \( (SCD) \) và \( (ABCD) \): Đã tính ở phần c). - Góc giữa \( (SBC) \) và \( (ABCD) \): Tương tự, tính vector pháp tuyến của \( (SBC) \) và sử dụng công thức tương tự. - Góc giữa \( (SBD) \) và \( (ABCD) \): Tương tự, tính vector pháp tuyến của \( (SBD) \) và sử dụng công thức tương tự. Mỗi phần cần tính toán cụ thể vector pháp tuyến và sử dụng công thức cosin góc giữa hai vector để tìm góc giữa các mặt phẳng. Bài 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Tính cosin góc tạo bởi các cạnh SC, SD và mặt đáy (ABCD). Bước 1: Xác định các yếu tố cơ bản của hình chóp. - Đáy ABCD là nửa lục giác đều với cạnh \( a \), do đó \( AB = BC = CD = a \). - \( AD = 2a \) là đường kính của nửa lục giác đều. - \( SA \bot (ABCD) \), nghĩa là \( SA \) là đường cao của hình chóp. Bước 2: Tính độ dài \( SA \). Do \( SB \) tạo với đáy một góc \( 45^\circ \), ta có: \[ \tan 45^\circ = 1 = \frac{SA}{h} \] trong đó \( h \) là khoảng cách từ \( B \) đến đường thẳng \( AD \). Vì \( B \) nằm trên nửa lục giác đều, \( h = \frac{\sqrt{3}}{2}a \). Do đó, \( SA = \frac{\sqrt{3}}{2}a \). Bước 3: Tính cosin góc giữa \( SC \) và mặt phẳng \( (ABCD) \). - Gọi \( H \) là hình chiếu của \( C \) lên \( AD \). Vì \( C \) nằm trên nửa lục giác đều, \( CH = \frac{a\sqrt{3}}{2} \). - \( SC \) là đường chéo của tam giác vuông \( SAC \) với \( AC = a \). Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác \( SAC \): \[ SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{3}{4}a^2 + a^2} = \sqrt{\frac{7}{4}a^2} = \frac{\sqrt{7}}{2}a \] - Cosin của góc giữa \( SC \) và mặt phẳng \( (ABCD) \) là: \[ \cos \theta = \frac{SA}{SC} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\frac{\sqrt{7}}{2}a} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \] b) Tính tan góc tạo bởi SI và mặt phẳng (ABCD). Bước 1: Xác định vị trí của điểm \( I \). - \( I \) là trung điểm của \( CD \), do đó \( CI = ID = \frac{a}{2} \). Bước 2: Tính độ dài \( SI \). - \( SI \) là đường chéo của tam giác vuông \( SAI \) với \( AI = \frac{a}{2} \). Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác \( SAI \): \[ SI = \sqrt{SA^2 + AI^2} = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}a^2 + \frac{1}{4}a^2} = \sqrt{a^2} = a \] Bước 3: Tính tan góc giữa \( SI \) và mặt phẳng \( (ABCD) \). - Tan của góc giữa \( SI \) và mặt phẳng \( (ABCD) \) là: \[ \tan \phi = \frac{SA}{AI} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\frac{a}{2}} = \sqrt{3} \] Vậy, cosin góc giữa \( SC \) và mặt phẳng \( (ABCD) \) là \( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \), và tan góc giữa \( SI \) và mặt phẳng \( (ABCD) \) là \( \sqrt{3} \). Bài 5: Để tính góc tạo bởi đường thẳng \( A'C \) và mặt phẳng \( (ABB'A') \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định hình chiếu của \( A'C \) lên mặt phẳng \( (ABB'A') \): - Do \( (ABB'A') \) là mặt phẳng đứng, ta có thể chọn hệ trục tọa độ sao cho: - \( A(0, 0, 0) \) - \( B(a, 0, 0) \) - \( A'(0, 0, \frac{a\sqrt{2}}{2}) \) - \( B'(a, 0, \frac{a\sqrt{2}}{2}) \) - \( C \) nằm trên mặt phẳng đáy \( (ABC) \), do tam giác \( ABC \) đều cạnh \( a \), ta có thể chọn \( C \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right) \). 2. Tính tọa độ của \( A'C \): - Tọa độ của \( A' \) là \( (0, 0, \frac{a\sqrt{2}}{2}) \). - Tọa độ của \( C \) là \( \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right) \). - Vector \( \overrightarrow{A'C} = \left(\frac{a}{2} - 0, \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - \frac{a\sqrt{2}}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, -\frac{a\sqrt{2}}{2}\right) \). 3. Tính hình chiếu của \( \overrightarrow{A'C} \) lên mặt phẳng \( (ABB'A') \): - Mặt phẳng \( (ABB'A') \) có phương trình \( z = 0 \). - Hình chiếu của vector \( \overrightarrow{A'C} \) lên mặt phẳng \( (ABB'A') \) là vector \( \overrightarrow{A'C'} = \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right) \). 4. Tính góc giữa \( \overrightarrow{A'C} \) và \( \overrightarrow{A'C'} \): - Sử dụng công thức cosin của góc giữa hai vector: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{A'C} \cdot \overrightarrow{A'C'}}{\|\overrightarrow{A'C}\| \cdot \|\overrightarrow{A'C'}\|} \] - Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{A'C} \cdot \overrightarrow{A'C'} = \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} + \left(-\frac{a\sqrt{2}}{2}\right) \cdot 0 = \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} = a^2 \] - Tính độ dài các vector: \[ \|\overrightarrow{A'C}\| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + \frac{2a^2}{4}} = \sqrt{a^2} = a \] \[ \|\overrightarrow{A'C'}\| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{a^2} = a \] - Tính cosin góc: \[ \cos \theta = \frac{a^2}{a \cdot a} = 1 \] - Do đó, góc \( \theta = 0^\circ \). Kết luận: Góc tạo bởi \( A'C \) và mặt phẳng \( (ABB'A') \) là \( 0^\circ \).