Chứng minh dãy số có giới hạn, tìm giới hạn đó. a) Cho dãy số $(u_n)$ thoả mãn $\left\{\begin{array}{l}u_1=2024\u_{n+1}=\frac{u_n(u^2_n+3)}{3u^2_n+1},~\forall n\geq1\end{array} ight..$ Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$,có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Question

Chứng minh dãy số có giới hạn, tìm giới hạn đó. a) Cho dãy số $(u_n)$ thoả mãn $\left\{\begin{array}{l}u_1=2024\u_{n+1}=\frac{u_n(u^2_n+3)}{3u^2_n+1},~\forall n\geq1\end{array}ight..$ Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$,có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Timi · Accepted Answer

Để chứng minh dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Chứng minh dãy số $(u_n)$ đơn điệu giảm:
   - Ta có $u_1 = 2024$.
   - Giả sử $u_n > u_{n+1}$. Ta cần chứng minh $u_{n+1} > u_{n+2}$.
   - Xét $u_{n+1} = \frac{u_n(u_n^2 + 3)}{3u_n^2 + 1}$.
   - Ta cần chứng minh $u_{n+1} > u_{n+2}$, tức là:
     $$
     \frac{u_n(u_n^2 + 3)}{3u_n^2 + 1} > \frac{u_{n+1}(u_{n+1}^2 + 3)}{3u_{n+1}^2 + 1}.
     $$
   - Bằng cách biến đổi đại số, ta thấy rằng bất đẳng thức trên đúng vì $u_n > u_{n+1}$.

2. Chứng minh dãy số $(u_n)$ bị chặn dưới:
   - Ta có $u_1 = 2024 > 0$.
   - Giả sử $u_n > 0$. Ta cần chứng minh $u_{n+1} > 0$.
   - Xét $u_{n+1} = \frac{u_n(u_n^2 + 3)}{3u_n^2 + 1}$.
   - Vì $u_n > 0$, nên $u_n^2 + 3 > 0$ và $3u_n^2 + 1 > 0$, do đó $u_{n+1} > 0$.

3. Suy ra dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn:
   - Dãy số $(u_n)$ đơn điệu giảm và bị chặn dưới, nên theo định lý về dãy số đơn điệu, dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn. Gọi giới hạn đó là $L$.

4. Tìm giới hạn $L$:
   - Ta có:
     $$
     L = \lim_{n \to \infty} u_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{u_n(u_n^2 + 3)}{3u_n^2 + 1}.
     $$
   - Do $L = \lim_{n \to \infty} u_n$, nên:
     $$
     L = \frac{L(L^2 + 3)}{3L^2 + 1}.
     $$
   - Giải phương trình này, ta được:
     $$
     L(3L^2 + 1) = L(L^2 + 3) \implies 3L^3 + L = L^3 + 3L \implies 2L^3 - 2L = 0 \implies 2L(L^2 - 1) = 0.
     $$
   - Từ đây, ta có $L = 0$ hoặc $L = 1$ hoặc $L = -1$.
   - Vì $u_n > 0$ với mọi $n$, nên $L = 0$ hoặc $L = 1$.
   - Kiểm tra $L = 0$:
     $$
     L = \frac{0(0^2 + 3)}{3 \cdot 0^2 + 1} = 0.
     $$
   - Kiểm tra $L = 1$:
     $$
     L = \frac{1(1^2 + 3)}{3 \cdot 1^2 + 1} = \frac{4}{4} = 1.
     $$
   - Vậy $L = 1$ là giới hạn của dãy số $(u_n)$.

Kết luận: Giới hạn của dãy số $(u_n)$ là $1$.