giải giúp mình mấy bài này

b) |−5x| = 3x − 16 Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: -5x ≥ 0 (tức là x ≤ 0) Khi đó, |−5x| = 5x. Phương trình trở thành: 5x = 3x - 16 5x - 3x = -16 2x = -16 x = -8 Kiểm tra điều kiện x ≤ 0: Đúng. Thử lại: |−5(-8)| = 3(-8) - 16 |40| = -24 - 16 40 ≠ -40 (sai) Vậy x = -8 không thỏa mãn phương trình. Trường hợp 2: -5x < 0 (tức là x > 0) Khi đó, |−5x| = -5x. Phương trình trở thành: -5x = 3x - 16 -5x - 3x = -16 -8x = -16 x = 2 Kiểm tra điều kiện x > 0: Đúng. Thử lại: |−5(2)| = 3(2) - 16 |-10| = 6 - 16 10 = -10 (sai) Vậy x = 2 không thỏa mãn phương trình. Kết luận: Phương trình không có nghiệm. e) |8 - x| = x² + x Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: 8 - x ≥ 0 (tức là x ≤ 8) Khi đó, |8 - x| = 8 - x. Phương trình trở thành: 8 - x = x² + x x² + x + x - 8 = 0 x² + 2x - 8 = 0 Phân tích đa thức thành nhân tử: (x + 4)(x - 2) = 0 x + 4 = 0 hoặc x - 2 = 0 x = -4 hoặc x = 2 Kiểm tra điều kiện x ≤ 8: - x = -4: Đúng. - x = 2: Đúng. Thử lại: - Với x = -4: |8 - (-4)| = (-4)² + (-4) |12| = 16 - 4 12 = 12 (đúng) - Với x = 2: |8 - 2| = 2² + 2 |6| = 4 + 2 6 = 6 (đúng) Vậy x = -4 và x = 2 đều thỏa mãn phương trình. Trường hợp 2: 8 - x < 0 (tức là x > 8) Khi đó, |8 - x| = -(8 - x) = x - 8. Phương trình trở thành: x - 8 = x² + x x² + x - x + 8 = 0 x² + 8 = 0 Phương trình này vô nghiệm vì x² không thể âm. Kết luận: Các nghiệm của phương trình là x = -4 và x = 2. c) |x - 4| = -3x + 5 Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: x - 4 ≥ 0 (tức là x ≥ 4) Khi đó, |x - 4| = x - 4. Phương trình trở thành: x - 4 = -3x + 5 x + 3x = 5 + 4 4x = 9 x = $\frac{9}{4}$ Kiểm tra điều kiện x ≥ 4: Sai. Vậy x = $\frac{9}{4}$ không thỏa mãn phương trình. Trường hợp 2: x - 4 < 0 (tức là x < 4) Khi đó, |x - 4| = -(x - 4) = 4 - x. Phương trình trở thành: 4 - x = -3x + 5 4 - x + 3x = 5 2x = 1 x = $\frac{1}{2}$ Kiểm tra điều kiện x < 4: Đúng. Thử lại: |$\frac{1}{2}$ - 4| = -3($\frac{1}{2}$) + 5 |-$\frac{7}{2}$| = -$\frac{3}{2}$ + 5 $\frac{7}{2}$ = $\frac{7}{2}$ (đúng) Vậy x = $\frac{1}{2}$ thỏa mãn phương trình. Kết luận: Nghiệm của phương trình là x = $\frac{1}{2}$. Bài 21: a) $(x-3)^2 < x^2 - 5x + 4$ $(x-3)^2 < x^2 - 5x + 4$ $x^2 - 6x + 9 < x^2 - 5x + 4$ $x^2 - 6x + 9 - x^2 + 5x - 4 < 0$ $-x + 5 < 0$ $-x < -5$ $x > 5$ Tập nghiệm của bất phương trình là $S = \{x | x > 5\}$ b) $(x-3)(x+3) \leq (x+2)^2 + 3$ $(x-3)(x+3) \leq (x+2)^2 + 3$ $x^2 - 9 \leq x^2 + 4x + 4 + 3$ $x^2 - 9 \leq x^2 + 4x + 7$ $x^2 - 9 - x^2 - 4x - 7 \leq 0$ $-4x - 16 \leq 0$ $-4x \leq 16$ $x \geq -4$ Tập nghiệm của bất phương trình là $S = \{x | x \geq -4\}$ c) $\frac{4x-5}{3} > \frac{7-x}{5}$ $\frac{4x-5}{3} > \frac{7-x}{5}$ $5(4x-5) > 3(7-x)$ $20x - 25 > 21 - 3x$ $20x + 3x > 21 + 25$ $23x > 46$ $x > 2$ Tập nghiệm của bất phương trình là $S = \{x | x > 2\}$ d) $\frac{2x+1}{2} + 3 \geq \frac{3-5x}{3} - \frac{4x+1}{4}$ $\frac{2x+1}{2} + 3 \geq \frac{3-5x}{3} - \frac{4x+1}{4}$ $6(2x+1) + 36 \geq 4(3-5x) - 3(4x+1)$ $12x + 6 + 36 \geq 12 - 20x - 12x - 3$ $12x + 42 \geq 9 - 32x$ $12x + 32x \geq 9 - 42$ $44x \geq -33$ $x \geq -\frac{3}{4}$ Tập nghiệm của bất phương trình là $S = \{x | x \geq -\frac{3}{4}\}$ e) $\frac{5x-3}{5} + \frac{2x+1}{4} \leq \frac{2-3x}{2} - 5$ $\frac{5x-3}{5} + \frac{2x+1}{4} \leq \frac{2-3x}{2} - 5$ $4(5x-3) + 5(2x+1) \leq 10(2-3x) - 100$ $20x - 12 + 10x + 5 \leq 20 - 30x - 100$ $30x - 7 \leq -80 - 30x$ $30x + 30x \leq -80 + 7$ $60x \leq -73$ $x \leq -\frac{73}{60}$ Tập nghiệm của bất phương trình là $S = \{x | x \leq -\frac{73}{60}\}$ f) $x^2 - 4x + 3 \geq 0$ $x^2 - 4x + 3 \geq 0$ $(x-1)(x-3) \geq 0$ Ta có bảng xét dấu: | x | (-∞, 1) | (1, 3) | (3, ∞) | |-----|---------|--------|--------| | x-1 | - | + | + | | x-3 | - | - | + | | (x-1)(x-3) | + | - | + | Từ bảng xét dấu, ta thấy rằng $(x-1)(x-3) \geq 0$ khi $x \leq 1$ hoặc $x \geq 3$. Tập nghiệm của bất phương trình là $S = \{x | x \leq 1$ hoặc $x \geq 3\}$ g) $x^3 - 2x^2 + 3x - 6 < 0$ $x^3 - 2x^2 + 3x - 6 < 0$ $x^2(x-2) + 3(x-2) < 0$ $(x-2)(x^2+3) < 0$ Ta có bảng xét dấu: | x | (-∞, 2) | (2, ∞) | |-----|---------|--------| | x-2 | - | + | | x^2+3 | + | + | | (x-2)(x^2+3) | - | + | Từ bảng xét dấu, ta thấy rằng $(x-2)(x^2+3) < 0$ khi $x < 2$. Tập nghiệm của bất phương trình là $S = \{x | x < 2\}$ h) $\frac{x+2}{5} \geq 0$ $\frac{x+2}{5} \geq 0$ $x+2 \geq 0$ $x \geq -2$ Tập nghiệm của bất phương trình là $S = \{x | x \geq -2\}$ i) $\frac{x+2}{x-3} < 0$ Ta có bảng xét dấu: | x | (-∞, -2) | (-2, 3) | (3, ∞) | |-----|----------|---------|--------| | x+2 | - | + | + | | x-3 | - | - | + | | $\frac{x+2}{x-3}$ | + | - | - | Từ bảng xét dấu, ta thấy rằng $\frac{x+2}{x-3} < 0$ khi $-2 < x < 3$. Tập nghiệm của bất phương trình là $S = \{x | -2 < x < 3\}$ k) $\frac{x-1}{x-3} > 1$ $\frac{x-1}{x-3} > 1$ $\frac{x-1}{x-3} - 1 > 0$ $\frac{x-1-(x-3)}{x-3} > 0$ $\frac{x-1-x+3}{x-3} > 0$ $\frac{2}{x-3} > 0$ Ta có bảng xét dấu: | x | (-∞, 3) | (3, ∞) | |-----|---------|--------| | x-3 | - | + | | $\frac{2}{x-3}$ | - | + | Từ bảng xét dấu, ta thấy rằng $\frac{2}{x-3} > 0$ khi $x > 3$. Tập nghiệm của bất phương trình là $S = \{x | x > 3\}$ Bài 22: a) Ta có \(a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2\). Vì bình phương của mọi số thực đều không âm nên \((a - b)^2 \geq 0\). Do đó \(a^2 + b^2 - 2ab \geq 0\). b) Ta có \(\frac{a^2 + b^2}{2} \geq ab\). Nhân cả hai vế với 2 ta được \(a^2 + b^2 \geq 2ab\). Điều này đúng vì \(a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2 \geq 0\). Vậy \(\frac{a^2 + b^2}{2} \geq ab\). c) Ta có \(a(a + 2) < (a + 1)^2\). Khai triển vế phải ta được \(a^2 + 2a < a^2 + 2a + 1\). Bớt \(a^2 + 2a\) ở cả hai vế ta được \(0 < 1\). Điều này luôn đúng. Vậy \(a(a + 2) < (a + 1)^2\). d) Ta có \(m^2 + n^2 + 2 \geq 2(m + n)\). Chuyển \(2(m + n)\) sang vế trái ta được \(m^2 + n^2 + 2 - 2m - 2n \geq 0\). Viết lại dưới dạng \(m^2 - 2m + 1 + n^2 - 2n + 1 \geq 0\). Ta có \(m^2 - 2m + 1 = (m - 1)^2\) và \(n^2 - 2n + 1 = (n - 1)^2\). Vì bình phương của mọi số thực đều không âm nên \((m - 1)^2 + (n - 1)^2 \geq 0\). Do đó \(m^2 + n^2 + 2 \geq 2(m + n)\). e) Ta có \((a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \geq 4\). Khai triển vế trái ta được \(\frac{a}{a} + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{b}{b} \geq 4\). Rút gọn ta được \(1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 \geq 4\). Chuyển 2 sang vế phải ta được \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2\). Nhân cả hai vế với \(ab\) ta được \(a^2 + b^2 \geq 2ab\). Điều này đúng vì \(a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2 \geq 0\). Vậy \((a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \geq 4\). Bài 23: a) Ta có: \( m < n \) Cộng thêm 5 vào cả hai vế, ta được: \[ m + 5 < n + 5 \] Vậy \( m + 5 < n + 5 \). b) Ta có: \( m < n \) Nhân cả hai vế với 2, ta được: \[ 2m < 2n \] Cộng thêm -8 vào cả hai vế, ta được: \[ -8 + 2m < -8 + 2n \] Vậy \( -8 + 2m < -8 + 2n \). c) Ta có: \( m < n \) Nhân cả hai vế với -3, ta được: \[ -3m > -3n \] Cộng thêm 1 vào cả hai vế, ta được: \[ -3m + 1 > -3n + 1 \] Vậy \( -3m + 1 > -3n + 1 \). d) Ta có: \( m < n \) Chia cả hai vế cho 2, ta được: \[ \frac{m}{2} < \frac{n}{2} \] Cộng thêm -5 vào cả hai vế, ta được: \[ \frac{m}{2} - 5 < \frac{n}{2} - 5 \] Vậy \( \frac{m}{2} - 5 < \frac{n}{2} - 5 \). Bài 24: a) Ta có \( a > b \) Cộng thêm 2 vào cả hai vế của bất đẳng thức \( a > b \): \( a + 2 > b + 2 \) Vậy \( a + 2 > b + 2 \). b) Ta có \( a > b \) Nhân cả hai vế của bất đẳng thức \( a > b \) với -2 (chú ý rằng khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức với một số âm, chiều của bất đẳng thức sẽ thay đổi): \( -2a < -2b \) Cộng thêm -5 vào cả hai vế của bất đẳng thức \( -2a < -2b \): \( -2a - 5 < -2b - 5 \) Vậy \( -2a - 5 < -2b - 5 \). c) Ta có \( a > b \) Nhân cả hai vế của bất đẳng thức \( a > b \) với 3: \( 3a > 3b \) Cộng thêm 5 vào cả hai vế của bất đẳng thức \( 3a > 3b \): \( 3a + 5 > 3b + 5 \) Vì \( 3b + 5 > 3b + 2 \) (vì 5 > 2), nên: \( 3a + 5 > 3b + 2 \) Vậy \( 3a + 5 > 3b + 2 \). d) Ta có \( a > b \) Nhân cả hai vế của bất đẳng thức \( a > b \) với -4 (chú ý rằng khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức với một số âm, chiều của bất đẳng thức sẽ thay đổi): \( -4a < -4b \) Cộng thêm 2 vào cả hai vế của bất đẳng thức \( -4a < -4b \): \( 2 - 4a < 2 - 4b \) Vì \( 2 - 4b < 3 - 4b \) (vì 2 < 3), nên: \( 2 - 4a < 3 - 4b \) Vậy \( 2 - 4a < 3 - 4b \).