Tính giá trị P².

Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit và các phép biến đổi đại số. Đầu tiên, chúng ta biết rằng: \[ \frac{1}{\log_b a} + \frac{1}{\log_a b} = \sqrt{2024} \] Chúng ta có thể viết lại các logarit theo cơ số chung: \[ \log_b a = \frac{\log a}{\log b} \] \[ \log_a b = \frac{\log b}{\log a} \] Do đó: \[ \frac{1}{\log_b a} = \frac{\log b}{\log a} \] \[ \frac{1}{\log_a b} = \frac{\log a}{\log b} \] Thay vào phương trình ban đầu: \[ \frac{\log b}{\log a} + \frac{\log a}{\log b} = \sqrt{2024} \] Đặt \( x = \frac{\log a}{\log b} \). Khi đó: \[ \frac{\log b}{\log a} = \frac{1}{x} \] Phương trình trở thành: \[ x + \frac{1}{x} = \sqrt{2024} \] Nhân cả hai vế với \( x \): \[ x^2 + 1 = x \sqrt{2024} \] Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ x^2 - x \sqrt{2024} + 1 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{\sqrt{2024} \pm \sqrt{(\sqrt{2024})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{\sqrt{2024} \pm \sqrt{2024 - 4}}{2} \] \[ x = \frac{\sqrt{2024} \pm \sqrt{2020}}{2} \] Vì \( a > b > 1 \), nên \( x = \frac{\log a}{\log b} > 1 \). Do đó: \[ x = \frac{\sqrt{2024} + \sqrt{2020}}{2} \] Bây giờ, chúng ta cần tìm giá trị của \( P \): \[ P = \frac{1}{\log_{ab} b} - \frac{1}{\log_{ab} a} \] Sử dụng tính chất của logarit: \[ \log_{ab} b = \frac{\log b}{\log (ab)} = \frac{\log b}{\log a + \log b} \] \[ \log_{ab} a = \frac{\log a}{\log (ab)} = \frac{\log a}{\log a + \log b} \] \[ \frac{1}{\log_{ab} b} = \frac{\log a + \log b}{\log b} \] \[ \frac{1}{\log_{ab} a} = \frac{\log a + \log b}{\log a} \] Vậy: \[ P = \frac{\log a + \log b}{\log b} - \frac{\log a + \log b}{\log a} \] Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.