Tính min S. Câu 4. Xét các số nguyên dương a;b sao cho phương trình $a\ln^2x+b\ln x+5=0$ có hai nghiệm,phân biệt $x_1,x_2$ và phương trình $5\log^2x+b\log x+a=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_3,x_4$,thỏa mãn $x_1x_2x_3x_4.$ Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=a^2+3b.$

Question

Tính min S. Câu 4. Xét các số nguyên dương a;b sao cho phương trình $a\ln^2x+b\ln x+5=0$ có hai nghiệm,phân biệt $x_1,x_2$ và phương trình $5\log^2x+b\log x+a=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_3,x_4$,thỏa mãn $x_1x_2>x_3x_4.$ Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=a^2+3b.$

Accepted Answer

Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điều kiện để phương trình $a\ln^2x + b\ln x + 5 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$. 2. Xác định các điều kiện để phương trình $5\log^2x + b\log x + a = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_3, x_4$. 3. Sử dụng điều kiện $x_1x_2 > x_3x_4$ để tìm mối liên hệ giữa $a$ và $b$. 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = a^2 + 3b$. Bước 1: Điều kiện để phương trình $a\ln^2x + b\ln x + 5 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ Phương trình $a\ln^2x + b\ln x + 5 = 0$ có hai nghiệm phân biệt nếu biệt thức $\Delta > 0$: $$ \Delta = b^2 - 4 \cdot a \cdot 5 = b^2 - 20a > 0 $$ Do đó: $$ b^2 > 20a $$ Bước 2: Điều kiện để phương trình $5\log^2x + b\log x + a = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_3, x_4$ Phương trình $5\log^2x + b\log x + a = 0$ có hai nghiệm phân biệt nếu biệt thức $\Delta' > 0$: $$ \Delta' = b^2 - 4 \cdot 5 \cdot a = b^2 - 20a > 0 $$ Do đó: $$ b^2 > 20a $$ Bước 3: Sử dụng điều kiện $x_1x_2 > x_3x_4$ Từ phương trình $a\ln^2x + b\ln x + 5 = 0$, ta có: $$ x_1x_2 = e^{-\frac{5}{a}} $$ Từ phương trình $5\log^2x + b\log x + a = 0$, ta có: $$ x_3x_4 = 10^{-\frac{a}{5}} $$ Theo đề bài, ta có: $$ e^{-\frac{5}{a}} > 10^{-\frac{a}{5}} $$ Lấy logarit cơ số tự nhiên cả hai vế: $$ -\frac{5}{a} > -\frac{a}{5} \ln 10 $$ Nhân cả hai vế với $-1$: $$ \frac{5}{a} < \frac{a}{5} \ln 10 $$ Nhân cả hai vế với $5a$: $$ 25 < a^2 \ln 10 $$ Do đó: $$ a^2 > \frac{25}{\ln 10} $$ Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = a^2 + 3b$ Ta đã có: $$ a^2 > \frac{25}{\ln 10} $$ và $$ b^2 > 20a $$ Để tìm giá trị nhỏ nhất của $S = a^2 + 3b$, ta thử các giá trị nguyên dương của $a$ và $b$ thỏa mãn các điều kiện trên. - Nếu $a = 3$, thì $a^2 = 9$. Ta cần $b^2 > 60$, tức là $b > \sqrt{60} \approx 7.75$. Vậy $b \geq 8$. - Với $b = 8$, ta có $S = 9 + 24 = 33$. - Nếu $a = 4$, thì $a^2 = 16$. Ta cần $b^2 > 80$, tức là $b > \sqrt{80} \approx 8.94$. Vậy $b \geq 9$. - Với $b = 9$, ta có $S = 16 + 27 = 43$. Do đó, giá trị nhỏ nhất của $S$ là 33 khi $a = 3$ và $b = 8$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $S$ là: $$ \boxed{33} $$