Tìm min T. Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm $A(-1;-2),B(3;2),C(4;-1).$ Điểm E di động trên đường,thẳng AB . Tìm giá trị nhỏ nhất của $T=|2\overrightarrow{EA}+3\overrightarrow{EB}-\overrightarrow{EC}|.$

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 7:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ T = |2\overrightarrow{EA} + 3\overrightarrow{EB} - \overrightarrow{EC}| $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm phương trình đường thẳng AB

Điểm $ A(-1, -2) $ và $ B(3, 2) $. Vector chỉ phương của đường thẳng $ AB $ là $ \overrightarrow{AB} = (3 - (-1), 2 - (-2)) = (4, 4) $.

Phương trình tham số của đường thẳng $ AB $ là:
$$
x = -1 + 4t, \quad y = -2 + 4t
$$
với $ t $ là tham số.

Bước 2: Biểu diễn vector $\overrightarrow{EA}$, $\overrightarrow{EB}$, $\overrightarrow{EC}$

Giả sử điểm $ E(x_E, y_E) $ nằm trên đường thẳng $ AB $, ta có:
$$
x_E = -1 + 4t, \quad y_E = -2 + 4t
$$

Vector $\overrightarrow{EA} = (x_E + 1, y_E + 2)$.

Vector $\overrightarrow{EB} = (x_E - 3, y_E - 2)$.

Vector $\overrightarrow{EC} = (x_E - 4, y_E + 1)$.

Bước 3: Tính toán biểu thức $2\overrightarrow{EA} + 3\overrightarrow{EB} - \overrightarrow{EC}$

$$
2\overrightarrow{EA} = 2(x_E + 1, y_E + 2) = (2x_E + 2, 2y_E + 4)
$$

$$
3\overrightarrow{EB} = 3(x_E - 3, y_E - 2) = (3x_E - 9, 3y_E - 6)
$$

$$
-\overrightarrow{EC} = -(x_E - 4, y_E + 1) = (-x_E + 4, -y_E - 1)
$$

Cộng các vector lại:
$$
2\overrightarrow{EA} + 3\overrightarrow{EB} - \overrightarrow{EC} = (2x_E + 2 + 3x_E - 9 - x_E + 4, 2y_E + 4 + 3y_E - 6 - y_E - 1)
$$

$$
= (4x_E - 3, 4y_E - 3)
$$

Bước 4: Tính độ dài vector

Biểu thức cần tìm là:
$$
T = |(4x_E - 3, 4y_E - 3)|
$$

$$
= \sqrt{(4x_E - 3)^2 + (4y_E - 3)^2}
$$

Thay $ x_E = -1 + 4t $ và $ y_E = -2 + 4t $ vào:
$$
4x_E - 3 = 4(-1 + 4t) - 3 = -4 + 16t - 3 = 16t - 7
$$

$$
4y_E - 3 = 4(-2 + 4t) - 3 = -8 + 16t - 3 = 16t - 11
$$

Do đó:
$$
T = \sqrt{(16t - 7)^2 + (16t - 11)^2}
$$

$$
= \sqrt{256t^2 - 224t + 49 + 256t^2 - 352t + 121}
$$

$$
= \sqrt{512t^2 - 576t + 170}
$$

Bước 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của $ T $

Để tìm giá trị nhỏ nhất của $ T $, ta xét hàm số:
$$
f(t) = 512t^2 - 576t + 170
$$

Đây là một hàm bậc hai có dạng $ at^2 + bt + c $ với $ a = 512, b = -576, c = 170 $.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai đạt được tại:
$$
t = -\frac{b}{2a} = -\frac{-576}{2 \times 512} = \frac{576}{1024} = \frac{9}{16}
$$

Thay $ t = \frac{9}{16} $ vào $ f(t) $:
$$
f\left(\frac{9}{16}\right) = 512\left(\frac{9}{16}\right)^2 - 576\left(\frac{9}{16}\right) + 170
$$

$$
= 512 \times \frac{81}{256} - 576 \times \frac{9}{16} + 170
$$

$$
= 162 - 324 + 170 = 8
$$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $ T $ là:
$$
T = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
$$

Giá trị nhỏ nhất của $ T $ là $ 2\sqrt{2} $.