giải chi tiết

Câu 1: Doanh thu của cửa tiệm là: \[ R = pq = \left(15 - \frac{1}{2} q\right) q = 15q - \frac{1}{2} q^2.\] Xét hàm số \( R(q) = 15q - \frac{1}{2} q^2 \) trên khoảng \((0; +\infty)\). Ta có đạo hàm của \( R(q) \): \[ R'(q) = 15 - q. \] Giải phương trình \( R'(q) = 0 \): \[ 15 - q = 0 \] \[ q = 15. \] Xét dấu của \( R'(q) \): - Khi \( q < 15 \), \( R'(q) > 0 \) (hàm số tăng). - Khi \( q > 15 \), \( R'(q) < 0 \) (hàm số giảm). Vậy hàm số \( R(q) \) đạt cực đại tại \( q = 15 \). Doanh thu cao nhất đạt được khi \( q = 15 \): \[ R(15) = 15 \cdot 15 - \frac{1}{2} \cdot 15^2 = 225 - \frac{225}{2} = 225 - 112.5 = 112.5 \text{ (nghìn đồng)}.\] Giá bán mỗi kilôgam sản phẩm tương ứng là: \[ p = 15 - \frac{1}{2} \cdot 15 = 15 - 7.5 = 7.5 \text{ (nghìn đồng/kg)}. \] Vậy, giá bán mỗi kilôgam sản phẩm để đạt được doanh thu cao nhất là 7.5 nghìn đồng/kg và doanh thu cao nhất là 112.5 nghìn đồng. Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho diện tích toàn phần của hộp sữa là nhỏ nhất. Hộp sữa có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh \( x \) cm và chiều cao \( h \) cm. Thể tích của hộp là 1 lít, tức là 1000 cm\(^3\). Bước 1: Thiết lập phương trình thể tích Thể tích của hộp chữ nhật được tính bằng công thức: \[ V = x^2 \cdot h = 1000 \] Từ đó, ta có: \[ h = \frac{1000}{x^2} \] Bước 2: Thiết lập công thức diện tích toàn phần Diện tích toàn phần \( S \) của hộp chữ nhật bao gồm diện tích của đáy và diện tích của các mặt bên: \[ S = 2x^2 + 4xh \] Thay \( h = \frac{1000}{x^2} \) vào công thức trên, ta được: \[ S = 2x^2 + 4x \cdot \frac{1000}{x^2} = 2x^2 + \frac{4000}{x} \] Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích toàn phần Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( S \), ta cần tính đạo hàm của \( S \) theo \( x \) và tìm nghiệm của phương trình đạo hàm bằng 0. Tính đạo hàm: \[ S' = \frac{d}{dx}\left(2x^2 + \frac{4000}{x}\right) = 4x - \frac{4000}{x^2} \] Giải phương trình \( S' = 0 \): \[ 4x - \frac{4000}{x^2} = 0 \] \[ 4x^3 = 4000 \] \[ x^3 = 1000 \] \[ x = 10 \] Bước 4: Kiểm tra giá trị nhỏ nhất Để xác định \( x = 10 \) có phải là giá trị mà \( S \) đạt giá trị nhỏ nhất hay không, ta xét dấu của \( S' \). - Khi \( x < 10 \), \( S' < 0 \) (vì \( 4x < \frac{4000}{x^2} \)), nên \( S \) giảm. - Khi \( x > 10 \), \( S' > 0 \) (vì \( 4x > \frac{4000}{x^2} \)), nên \( S \) tăng. Do đó, \( S \) đạt giá trị nhỏ nhất tại \( x = 10 \). Kết luận: Diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất khi \( x = 10 \) cm. Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần tìm chiều cao của cái hộp sao cho diện tích bề mặt ngoài của hộp là nhỏ nhất, vì lượng vàng dùng để mạ tỉ lệ thuận với diện tích bề mặt ngoài. Bước 1: Đặt ẩn và điều kiện Gọi \( x \) là độ dài cạnh đáy của hộp (đơn vị: dm) và \( h \) là chiều cao của hộp (đơn vị: dm). Vì hộp có thể tích là 4 lít, ta có thể tích của hộp là \( 4 \) dm\(^3\) (vì 1 lít = 1 dm\(^3\)). Ta có phương trình thể tích: \[ x^2 \cdot h = 4 \] Bước 2: Biểu diễn diện tích bề mặt Diện tích bề mặt ngoài của hộp (không có nắp) là: \[ S = x^2 + 4xh \] Bước 3: Biểu diễn \( h \) theo \( x \) Từ phương trình thể tích, ta có: \[ h = \frac{4}{x^2} \] Thay \( h \) vào biểu thức diện tích: \[ S = x^2 + 4x \cdot \frac{4}{x^2} = x^2 + \frac{16}{x} \] Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( S \) Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( S \), ta tính đạo hàm của \( S \) theo \( x \): \[ S' = 2x - \frac{16}{x^2} \] Đặt \( S' = 0 \) để tìm giá trị \( x \) tại đó \( S \) đạt cực trị: \[ 2x - \frac{16}{x^2} = 0 \] Giải phương trình: \[ 2x^3 = 16 \quad \Rightarrow \quad x^3 = 8 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \] Bước 5: Kiểm tra giá trị cực tiểu Ta tính đạo hàm bậc hai của \( S \): \[ S'' = 2 + \frac{32}{x^3} \] Tại \( x = 2 \): \[ S''(2) = 2 + \frac{32}{8} = 6 > 0 \] Vì \( S''(2) > 0 \), nên \( S \) đạt cực tiểu tại \( x = 2 \). Bước 6: Tính chiều cao \( h \) Thay \( x = 2 \) vào phương trình thể tích để tìm \( h \): \[ h = \frac{4}{2^2} = 1 \] Kết luận Chiều cao của cái hộp để lượng vàng dùng mạ là ít nhất là 1 dm. Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định mức giá vé vào cửa sao cho tổng lợi nhuận của nhà hát là lớn nhất. Chúng ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho để thiết lập hàm lợi nhuận và sau đó tìm giá trị lớn nhất của hàm này. Bước 1: Xác định biến và hàm lợi nhuận Gọi \( x \) là số tiền tăng hoặc giảm so với giá vé ban đầu 20 USD/người. - Nếu \( x > 0 \), tức là giá vé tăng lên \( 20 + x \) USD/người, thì số lượng khách hàng sẽ giảm xuống còn \( 1000 - 100x \) người. - Nếu \( x < 0 \), tức là giá vé giảm xuống \( 20 + x \) USD/người, thì số lượng khách hàng sẽ tăng lên thành \( 1000 - 100x \) người. Lợi nhuận từ vé vào cửa và dịch vụ đi kèm cho mỗi khách hàng là: \[ (20 + x) + 2 = 22 + x \text{ USD} \] Tổng lợi nhuận \( P \) của nhà hát sẽ là: \[ P = (22 + x)(1000 - 100x) \] Bước 2: Mở rộng và đơn giản hóa hàm lợi nhuận \[ P = (22 + x)(1000 - 100x) \] \[ P = 22 \cdot 1000 + 22 \cdot (-100x) + x \cdot 1000 + x \cdot (-100x) \] \[ P = 22000 - 2200x + 1000x - 100x^2 \] \[ P = 22000 - 1200x - 100x^2 \] Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận Hàm lợi nhuận \( P \) là một hàm bậc hai có dạng: \[ P = -100x^2 - 1200x + 22000 \] Để tìm giá trị lớn nhất của hàm bậc hai, chúng ta sử dụng công thức đỉnh parabol: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Trong đó \( a = -100 \) và \( b = -1200 \). \[ x = -\frac{-1200}{2 \cdot -100} \] \[ x = \frac{1200}{-200} \] \[ x = -6 \] Bước 4: Xác định giá vé tối ưu Giá vé tối ưu là: \[ 20 + x = 20 - 6 = 14 \text{ USD/người} \] Bước 5: Kiểm tra và kết luận Thay \( x = -6 \) vào hàm lợi nhuận để kiểm tra: \[ P = -100(-6)^2 - 1200(-6) + 22000 \] \[ P = -100 \cdot 36 + 7200 + 22000 \] \[ P = -3600 + 7200 + 22000 \] \[ P = 25600 \text{ USD} \] Vậy, giá vé vào cửa để thu nhập là lớn nhất là 14 USD/người, và tổng lợi nhuận lớn nhất là 25600 USD. Đáp án cuối cùng: Giá vé vào cửa để thu nhập là lớn nhất là 14 USD/người. Câu 5: Phương trình chuyển động của vật là: \[ S(t) = -\frac{1}{4}t^4 + 3t^2 - 2t - 4 \] Bước 1: Tìm vận tốc của chuyển động. Vận tốc \( v(t) \) là đạo hàm của quãng đường \( S(t) \) theo thời gian \( t \): \[ v(t) = S'(t) = -t^3 + 6t - 2 \] Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất của vận tốc. Để tìm giá trị lớn nhất của \( v(t) \), ta cần tìm đạo hàm bậc hai của \( S(t) \) để kiểm tra cực trị: \[ v'(t) = S''(t) = -3t^2 + 6 \] Bước 3: Giải phương trình \( v'(t) = 0 \) để tìm các điểm dừng. \[ -3t^2 + 6 = 0 \] \[ -3t^2 = -6 \] \[ t^2 = 2 \] \[ t = \sqrt{2} \quad \text{hoặc} \quad t = -\sqrt{2} \] Bước 4: Kiểm tra dấu của \( v'(t) \) để xác định cực đại hoặc cực tiểu. - Khi \( t < \sqrt{2} \), \( v'(t) > 0 \) (vận tốc tăng). - Khi \( t > \sqrt{2} \), \( v'(t) < 0 \) (vận tốc giảm). Do đó, tại \( t = \sqrt{2} \), vận tốc đạt giá trị lớn nhất. Bước 5: Tính giá trị vận tốc tại \( t = \sqrt{2} \). \[ v(\sqrt{2}) = -(\sqrt{2})^3 + 6(\sqrt{2}) - 2 \] \[ v(\sqrt{2}) = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 2 \] \[ v(\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} - 2 \] Bước 6: Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm. \[ 4\sqrt{2} \approx 5.656 \] \[ 4\sqrt{2} - 2 \approx 5.656 - 2 = 3.656 \] \[ 3.656 \approx 3.66 \] Vậy, tại thời điểm \( t = \sqrt{2} \) giây (khoảng 1.41 giây), vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là 3.66 m/s. Câu 6: Để giải bài toán này, ta cần tìm kích thước của bể cá sao cho dung tích của nó là lớn nhất, với điều kiện diện tích kính sử dụng là $6,5m^2$ và chiều dài gấp đôi chiều rộng. Gọi chiều rộng của bể cá là \( x \) (m), chiều dài là \( 2x \) (m), và chiều cao là \( h \) (m). Bước 1: Tìm điều kiện xác định Diện tích kính sử dụng cho bể cá không nắp là tổng diện tích của đáy và bốn mặt bên: \[ S = 2x \cdot x + 2(xh + 2xh) = 2x^2 + 6xh \] Theo đề bài, diện tích kính là \( 6,5 \, m^2 \): \[ 2x^2 + 6xh = 6,5 \] Bước 2: Biểu diễn chiều cao \( h \) theo \( x \) Từ phương trình diện tích, ta có: \[ 6xh = 6,5 - 2x^2 \] Suy ra: \[ h = \frac{6,5 - 2x^2}{6x} \] Bước 3: Biểu diễn thể tích \( V \) theo \( x \) Thể tích của bể cá là: \[ V = x \cdot 2x \cdot h = 2x^2h \] Thay \( h \) từ phương trình trên vào: \[ V = 2x^2 \cdot \frac{6,5 - 2x^2}{6x} = \frac{2x(6,5 - 2x^2)}{6} \] Rút gọn: \[ V = \frac{13x - 4x^3}{6} \] Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất của \( V \) Để tìm giá trị lớn nhất của \( V \), ta tính đạo hàm của \( V \) theo \( x \) và tìm nghiệm của phương trình đạo hàm bằng 0. Đạo hàm của \( V \): \[ V' = \frac{d}{dx}\left(\frac{13x - 4x^3}{6}\right) = \frac{13 - 12x^2}{6} \] Giải phương trình \( V' = 0 \): \[ 13 - 12x^2 = 0 \implies 12x^2 = 13 \implies x^2 = \frac{13}{12} \implies x = \sqrt{\frac{13}{12}} \] Bước 5: Tính thể tích lớn nhất Thay \( x = \sqrt{\frac{13}{12}} \) vào biểu thức của \( V \): \[ V = \frac{13\sqrt{\frac{13}{12}} - 4\left(\sqrt{\frac{13}{12}}\right)^3}{6} \] Tính toán cụ thể: \[ V = \frac{13\sqrt{\frac{13}{12}} - 4\left(\frac{13}{12}\right)^{3/2}}{6} \] Sử dụng máy tính để tính giá trị này, ta được: \[ V \approx 1.54 \, m^3 \] Vậy, dung tích lớn nhất của bể cá là khoảng \( 1.54 \, m^3 \). Câu 7: Để giải quyết bài toán này, ta cần tìm kích thước của mảnh đất hình chữ nhật sao cho chi phí xây dựng bờ rào là ít tốn kém nhất. Giả sử chiều dài của mảnh đất là \( x \) mét và chiều rộng là \( y \) mét. Ta có các bước lập luận như sau: 1. Điều kiện xác định: - Diện tích của mảnh đất là \( 100 \, m^2 \), do đó ta có phương trình: \[ x \cdot y = 100 \] - Vì \( x \) và \( y \) là các kích thước của mảnh đất, nên \( x > 0 \) và \( y > 0 \). 2. Biểu thức cần tối ưu hóa: - Chi phí xây dựng bờ rào phụ thuộc vào chu vi của mảnh đất. Chu vi \( P \) của mảnh đất hình chữ nhật là: \[ P = 2x + 2y \] - Ta cần tối thiểu hóa chu vi \( P \). 3. Biểu diễn một biến theo biến kia: - Từ phương trình diện tích, ta có: \[ y = \frac{100}{x} \] - Thay vào biểu thức chu vi: \[ P = 2x + 2\left(\frac{100}{x}\right) = 2x + \frac{200}{x} \] 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \): - Xét hàm số \( P(x) = 2x + \frac{200}{x} \) với \( x > 0 \). - Tính đạo hàm của \( P(x) \): \[ P'(x) = 2 - \frac{200}{x^2} \] - Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta giải phương trình \( P'(x) = 0 \): \[ 2 - \frac{200}{x^2} = 0 \implies \frac{200}{x^2} = 2 \implies x^2 = 100 \implies x = 10 \] - Với \( x = 10 \), ta có \( y = \frac{100}{10} = 10 \). 5. Kiểm tra giá trị nhỏ nhất: - Tính đạo hàm bậc hai \( P''(x) \): \[ P''(x) = \frac{400}{x^3} \] - Với \( x > 0 \), ta có \( P''(x) > 0 \), do đó hàm số \( P(x) \) đạt cực tiểu tại \( x = 10 \). 6. Kết luận: - Giá trị nhỏ nhất của chu vi là \( P(10) = 2 \times 10 + \frac{200}{10} = 20 + 20 = 40 \). - Do đó, ông A nên mua mảnh đất có kích thước \( 10 \, m \times 10 \, m \) để chi phí xây dựng bờ rào là ít tốn kém nhất.