Giúp mình pls Câu 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y=\frac13x^3-mx^2-(2m-3)x-m+2$,luôn đồng biến trên R ?,A. 5. B. 1. C. 2. D. 3.

Question

on.du.c08 · Accepted Answer

Hải Duy Lê Nguyễn y'=$$x^2-2mx-2m+3$$

hs luôn đb trên R thì a>0 <=> 1>0 và Δ'≤0

Δ'=$$b^{\prime2}-ac=\left(-m\right)^2-\left(-2m+3\right)$$

=m^2+2m-3≤0

<=>-3≤m≤1

=>A

Timi · Answer

Câu 7:
Để hàm số $ y = \frac{1}{3}x^3 - mx^2 - (2m-3)x - m + 2 $ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$, đạo hàm của nó phải không âm trên toàn bộ miền xác định.

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số:
$$ y&#x27; = x^2 - 2mx - (2m - 3) $$

Bước 2: Để hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$, ta yêu cầu $ y&#x27; \geq 0 $ với mọi $ x \in \mathbb{R} $. Điều này xảy ra khi đồ thị của $ y&#x27; $ nằm hoàn toàn phía trên hoặc tiếp xúc trục hoành.

Bước 3: Xét dấu của $ y&#x27; $:
$$ y&#x27; = x^2 - 2mx - (2m - 3) $$
Đây là một đa thức bậc hai với hệ số $ a = 1 > 0 $.

Bước 4: Đặt $ y&#x27; = 0 $ và tìm nghiệm của phương trình:
$$ x^2 - 2mx - (2m - 3) = 0 $$

Bước 5: Tìm điều kiện để $ y&#x27; \geq 0 $ với mọi $ x \in \mathbb{R} $:
Phương trình $ x^2 - 2mx - (2m - 3) = 0 $ có nghiệm thực nếu và chỉ nếu biệt thức $ \Delta \leq 0 $.

Tính biệt thức $ \Delta $:
$$ \Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(2m - 3)) $$
$$ \Delta = 4m^2 + 4(2m - 3) $$
$$ \Delta = 4m^2 + 8m - 12 $$

Yêu cầu $ \Delta \leq 0 $:
$$ 4m^2 + 8m - 12 \leq 0 $$
$$ m^2 + 2m - 3 \leq 0 $$

Bước 6: Giải bất phương trình $ m^2 + 2m - 3 \leq 0 $:
$$ m^2 + 2m - 3 = 0 $$
$$ (m + 3)(m - 1) = 0 $$
$$ m = -3 \quad \text{hoặc} \quad m = 1 $$

Do đó, $ m $ nằm trong khoảng $[-3, 1]$.

Bước 7: Kiểm tra các giá trị nguyên dương của $ m $ trong khoảng $[-3, 1]$:
Giá trị duy nhất là $ m = 1 $.

Vậy, có 1 giá trị nguyên dương của tham số $ m $ để hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Đáp án: B. 1.