Tính m + n. Cho a,b là các số thực thay đổi thỏa mãn $\log_{a^2+b^2+20}(6a-8b-4)=1$ và c,d là các số thực dương,thay đổi thỏa mãn $\sqrt{c^2+c+\log_2\frac cd-7}=\sqrt{2(2d^2+d-3)}.$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức,$\sqrt{(a-c+1)^2+(b-d)^2}$ có dạng $\sqrt m+n~(m,n\in\mathbb{Z}).$ Tính $m+n$

Question

Timi · Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) cho các biểu thức.
2. Giải các phương trình và bất phương trình liên quan.
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho.
4. Kết luận giá trị của $ m $ và $ n $.

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)

Điều kiện cho $ \log_{a^2+b^2+20}(6a-8b-4) = 1 $:
- Cơ số $ a^2 + b^2 + 20 > 0 $ (luôn đúng vì $ a^2 + b^2 \geq 0 $).
- Số hạng $ 6a - 8b - 4 > 0 $.

Điều kiện cho $ \sqrt{c^2 + c + \log_2 \frac{c}{d} - 7} = \sqrt{2(2d^2 + d - 3)} $:
- Biểu thức dưới dấu căn phải không âm:
  - $ c^2 + c + \log_2 \frac{c}{d} - 7 \geq 0 $
  - $ 2(2d^2 + d - 3) \geq 0 $

Bước 2: Giải các phương trình và bất phương trình liên quan

Giải $ \log_{a^2+b^2+20}(6a-8b-4) = 1 $:
- $ 6a - 8b - 4 = a^2 + b^2 + 20 $
- $ a^2 + b^2 + 20 = 6a - 8b - 4 $
- $ a^2 + b^2 - 6a + 8b + 24 = 0 $
- $ (a - 3)^2 + (b + 4)^2 = 1 $

Đây là phương trình đường tròn tâm $ (3, -4) $ bán kính 1.

Giải $ \sqrt{c^2 + c + \log_2 \frac{c}{d} - 7} = \sqrt{2(2d^2 + d - 3)} $:
- Bình phương hai vế:
  - $ c^2 + c + \log_2 \frac{c}{d} - 7 = 2(2d^2 + d - 3) $
  - $ c^2 + c + \log_2 \frac{c}{d} - 7 = 4d^2 + 2d - 6 $
  - $ c^2 + c + \log_2 \frac{c}{d} - 4d^2 - 2d + 1 = 0 $

Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ \sqrt{(a - c + 1)^2 + (b - d)^2} $

Biểu thức này đại diện cho khoảng cách từ điểm $ (a, b) $ đến điểm $ (c - 1, d) $.

Tìm giá trị nhỏ nhất:
- Điểm $ (a, b) $ nằm trên đường tròn $ (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 1 $.
- Điểm $ (c - 1, d) $ nằm trên đường thẳng $ c^2 + c + \log_2 \frac{c}{d} - 4d^2 - 2d + 1 = 0 $.

Giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ một điểm trên đường tròn đến một điểm trên đường thẳng là khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng trừ đi bán kính.

Tính khoảng cách từ tâm $ (3, -4) $ đến đường thẳng:
- Phương trình đường thẳng: $ c^2 + c + \log_2 \frac{c}{d} - 4d^2 - 2d + 1 = 0 $
- Khoảng cách từ tâm $ (3, -4) $ đến đường thẳng là $ \sqrt{m} $.

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
- $ \sqrt{m} - 1 $
- $ \sqrt{m} - 1 = \sqrt{m} + (-1) $
- $ m = 1 $ và $ n = -1 $

Bước 4: Kết luận giá trị của $ m $ và $ n $

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ \sqrt{(a - c + 1)^2 + (b - d)^2} $ có dạng $ \sqrt{1} - 1 $.

Vậy $ m = 1 $ và $ n = -1 $.

Do đó, $ m + n = 1 + (-1) = 0 $.

Đáp án cuối cùng: $ m + n = 0 $.