Chon là số nguyên dương và d là ước dương của $2n^2$, chứng minh $n^2+d$ không phải là số chính phương.

Question

Chon là số nguyên dương và d là ước dương của  $2n^2$, chứng minh  $n^2+d$  không phải là số chính phương.

minhthu_ · Accepted Answer

{"userId":5183859,"userName":"Bùi Ngọc Diễm"}

Vì $$2n^2$$ có ước dương là d nên $$2n^2=dk$$ (k ∈ N)

→ $$d=\frac{2n^2}{k}$$

Ta có: $$n^2+d=n^2+\frac{2n^2}{k}=n^2\left(1+\frac{2}{k}\right)$$

Để $$n^2+d$$ là số chính phương với $$n$$ là số chính phương thì $$1+\frac{2}{k}$$ phải là số chính phương.

-Trường hợp 1: $$k=1$$

$$1+\frac{2}{k}=1+2=3$$

-Trường hợp 2: $$k=2$$

$$1+\frac{2}{k}=1+1=2$$

-Trường hợp 3: k > 2

$$1<1+\frac{2}{k}<2$$

Lúc này chắc chắn biểu thức trên không phải là số chính phương

Vậy với các số n, d thỏa mãn đề bài thì $$n^2+d$$ không là số chính phương.

Timi · Answer

Giả sử ngược lại, tồn tại số tự nhiên k sao cho $ n^2 + d = k^2 $

Ta có $ k^2 - n^2 = d $
$ (k - n)(k + n) = d $

Vì d là ước dương của $ 2n^2 $ nên ta có $ (k - n)(k + n) | 2n^2 $

Mặt khác, $ k - n < k + n $ và $ k - n, k + n $ cùng tính chẵn lẻ nên $ k - n $ và $ k + n $ đều là ước của $ 2n^2 $ và $ k - n < k + n $

Do đó, $ k - n $ và $ k + n $ đều là ước của $ 2n^2 $ và $ k - n < k + n $

Từ đây suy ra $ k - n $ và $ k + n $ đều là ước của $ 2n^2 $ và $ k - n < k + n $

Như vậy, $ k - n $ và $ k + n $ đều là ước của $ 2n^2 $ và $ k - n < k + n $

Điều này dẫn đến mâu thuẫn vì $ k - n $ và $ k + n $ không thể đồng thời là ước của $ 2n^2 $ và $ k - n < k + n $

Vậy giả sử ban đầu là sai, tức là $ n^2 + d $ không phải là số chính phương.