Diện tích thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC? Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn $AB=3,~AC=4,~\widehat{BAC}=30^0.$ Mặt,phẳng (P) song song với (ABC) cắt đoạn SA tại M sao cho $SM=\frac23SA.$ Diện tích thiết diện của (P) và,hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu?

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 11:
Để tìm diện tích thiết diện của mặt phẳng (P) với hình chóp S.ABC, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính diện tích tam giác ABC:

Tam giác ABC có:
   - $ AB = 3 $
   - $ AC = 4 $
   - Góc $ \widehat{BAC} = 30^\circ $

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa:
   $$
   S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin \widehat{BAC}
   $$
   $$
   S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \frac{1}{2} = 3
   $$

2. Xác định vị trí của mặt phẳng (P):

Mặt phẳng (P) song song với đáy (ABC) và cắt SA tại M sao cho $ SM = \frac{2}{3}SA $. Do đó, mặt phẳng (P) chia hình chóp S.ABC thành hai phần, trong đó phần nhỏ hơn là hình chóp M.ABC.

3. Tính tỉ số thể tích của hai hình chóp:

Vì mặt phẳng (P) song song với đáy (ABC) và cắt SA tại M với $ SM = \frac{2}{3}SA $, nên tỉ số chiều cao của hai hình chóp M.ABC và S.ABC là $\frac{2}{3}$.

Tỉ số thể tích của hai hình chóp M.ABC và S.ABC là:
   $$
   \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}
   $$

4. Tính diện tích thiết diện:

Diện tích thiết diện của mặt phẳng (P) với hình chóp S.ABC là diện tích tam giác M.ABC. Do mặt phẳng (P) song song với đáy (ABC), diện tích tam giác M.ABC tỉ lệ với diện tích tam giác ABC theo bình phương tỉ số chiều cao:
   $$
   S_{M.ABC} = S_{ABC} \times \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 3 \times \frac{4}{9} = \frac{4}{3}
   $$

Vậy diện tích thiết diện của mặt phẳng (P) với hình chóp S.ABC là $\frac{4}{3}$.