tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số giải chi tiết

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = \frac{1}{1 + 5x^2} \). - Đạo hàm \( f'(x) \): \[ f'(x) = -\frac{10x}{(1 + 5x^2)^2} \] - Giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ -\frac{10x}{(1 + 5x^2)^2} = 0 \implies x = 0 \] - Xét dấu của \( f'(x) \): - Khi \( x < 0 \), \( f'(x) > 0 \) - Khi \( x > 0 \), \( f'(x) < 0 \) Do đó, \( x = 0 \) là điểm cực đại của hàm số. Giá trị lớn nhất của hàm số: \[ f(0) = \frac{1}{1 + 5(0)^2} = 1 \] Giá trị nhỏ nhất của hàm số: \[ \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{1 + 5x^2} = 0 \] Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được tại \( x = 0 \). Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0. Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = 1 + \sin x - \frac{4}{3} \sin^2 x \) trên đoạn \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\). - Đặt \( t = \sin x \), ta có \( t \in [-1, 1] \). - Hàm số trở thành \( g(t) = 1 + t - \frac{4}{3} t^2 \). - Đạo hàm \( g'(t) \): \[ g'(t) = 1 - \frac{8}{3} t \] - Giải phương trình \( g'(t) = 0 \): \[ 1 - \frac{8}{3} t = 0 \implies t = \frac{3}{8} \] - Xét dấu của \( g'(t) \): - Khi \( t < \frac{3}{8} \), \( g'(t) > 0 \) - Khi \( t > \frac{3}{8} \), \( g'(t) < 0 \) Do đó, \( t = \frac{3}{8} \) là điểm cực đại của hàm số. Giá trị lớn nhất của hàm số: \[ g\left(\frac{3}{8}\right) = 1 + \frac{3}{8} - \frac{4}{3} \left(\frac{3}{8}\right)^2 = 1 + \frac{3}{8} - \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{64} = 1 + \frac{3}{8} - \frac{3}{16} = 1 + \frac{6}{16} - \frac{3}{16} = 1 + \frac{3}{16} = \frac{19}{16} \] Giá trị nhỏ nhất của hàm số: \[ g(-1) = 1 - 1 - \frac{4}{3} \cdot 1 = -\frac{4}{3} \] \[ g(1) = 1 + 1 - \frac{4}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3} \] Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là \(\frac{19}{16}\), đạt được tại \( x = \arcsin\left(\frac{3}{8}\right) \). Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(-\frac{4}{3}\), đạt được tại \( x = -\frac{\pi}{2} \). Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = \sin x - \cos x \). - Đạo hàm \( f'(x) \): \[ f'(x) = \cos x + \sin x \] - Giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ \cos x + \sin x = 0 \implies \tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \] - Xét dấu của \( f'(x) \): - Khi \( x \in \left(-\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{\pi}{4} + k\pi\right) \), \( f'(x) > 0 \) - Khi \( x \in \left(\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{3\pi}{4} + k\pi\right) \), \( f'(x) < 0 \) Do đó, \( x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \) là điểm cực đại của hàm số. Giá trị lớn nhất của hàm số: \[ f\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} \] Giá trị nhỏ nhất của hàm số: \[ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \] Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là \(\sqrt{2}\), đạt được tại \( x = \frac{\pi}{4} + k\pi \). Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(-\sqrt{2}\), đạt được tại \( x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \). Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 + 3x^2 + 18x \) trên đoạn \([0, +\infty)\). - Đạo hàm \( f'(x) \): \[ f'(x) = 3x^2 + 6x + 18 \] - Giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ 3x^2 + 6x + 18 = 0 \implies x^2 + 2x + 6 = 0 \] Phương trình này vô nghiệm vì \( \Delta = 4 - 24 = -20 < 0 \). Do đó, hàm số đồng biến trên đoạn \([0, +\infty)\). Giá trị nhỏ nhất của hàm số: \[ f(0) = 0^3 + 3(0)^2 + 18(0) = 0 \] Giá trị lớn nhất của hàm số: \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \] Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0, đạt được tại \( x = 0 \). Giá trị lớn nhất của hàm số là \( +\infty \). Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = \frac{(x+2)^2}{x} \) trên đoạn \([0, +\infty)\). - Đạo hàm \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{(x+2)^2}{x} \right) = \frac{2(x+2)x - (x+2)^2}{x^2} = \frac{2x^2 + 4x - x^2 - 4x - 4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2} = 1 - \frac{4}{x^2} \] - Giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ 1 - \frac{4}{x^2} = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = 2 \] - Xét dấu của \( f'(x) \): - Khi \( x < 2 \), \( f'(x) < 0 \) - Khi \( x > 2 \), \( f'(x) > 0 \) Do đó, \( x = 2 \) là điểm cực tiểu của hàm số. Giá trị nhỏ nhất của hàm số: \[ f(2) = \frac{(2+2)^2}{2} = \frac{16}{2} = 8 \] Giá trị lớn nhất của hàm số: \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \] Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số là 8, đạt được tại \( x = 2 \). Giá trị lớn nhất của hàm số là \( +\infty \).