Bài 1 nhé. Bài I (4,0 điểm) Cho phương trình $\sin x\cos2x-\cos x+\sin x=0.$,1) Giải phương trình đã cho.,2) Tính tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $(0;20\pi).$

Question

Accepted Answer

Bài 1:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P = 2x + y $ với điều kiện $ x^2 + y^2 = 1 $.

Bài I:
Bài giải:

1) Giải phương trình đã cho:
Phương trình đã cho là:
$$ \sin x \cos 2x - \cos x + \sin x = 0 $$

Trước tiên, ta sẽ nhóm các hạng tử có chứa $\sin x$ lại:
$$ \sin x (\cos 2x + 1) - \cos x = 0 $$

Ta biết rằng $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$, thay vào phương trình:
$$ \sin x (2\cos^2 x - 1 + 1) - \cos x = 0 $$
$$ \sin x (2\cos^2 x) - \cos x = 0 $$
$$ 2\sin x \cos^2 x - \cos x = 0 $$

Nhóm lại:
$$ \cos x (2\sin x \cos x - 1) = 0 $$

Từ đây, ta có hai trường hợp:
- Trường hợp 1: $\cos x = 0$
  $$ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) $$

- Trường hợp 2: $2\sin x \cos x - 1 = 0$
  $$ 2\sin x \cos x = 1 $$
  $$ \sin 2x = 1 $$
  $$ 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi $$
  $$ x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) $$

Vậy nghiệm của phương trình là:
$$ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) $$

2) Tính tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $(0; 20\pi)$:

- Đối với nghiệm $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$:
  $$ 0 < \frac{\pi}{2} + k\pi < 20\pi $$
  $$ -\frac{1}{2} < k < 19.5 $$
  $$ k = 0, 1, 2, \ldots, 19 $$
  Có 20 giá trị của $k$.

- Đối với nghiệm $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$:
  $$ 0 < \frac{\pi}{4} + k\pi < 20\pi $$
  $$ -\frac{1}{4} < k < 19.75 $$
  $$ k = 0, 1, 2, \ldots, 19 $$
  Có 20 giá trị của $k$.

Tổng các nghiệm trong khoảng $(0; 20\pi)$ là:
$$ \sum_{k=0}^{19} \left( \frac{\pi}{2} + k\pi \right) + \sum_{k=0}^{19} \left( \frac{\pi}{4} + k\pi \right) $$

$$ = 20 \cdot \frac{\pi}{2} + \pi \sum_{k=0}^{19} k + 20 \cdot \frac{\pi}{4} + \pi \sum_{k=0}^{19} k $$

$$ = 10\pi + \pi \cdot \frac{19 \cdot 20}{2} + 5\pi + \pi \cdot \frac{19 \cdot 20}{2} $$

$$ = 10\pi + 190\pi + 5\pi + 190\pi $$

$$ = 400\pi $$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $(0; 20\pi)$ là $400\pi$.