Tìm số nguyên dương m, n. b) Tìm tất cả các số nguyên dương m , n và số nguyên tố p thỏa mãn,$(m^3+n)(m+n^3)=p^3.$

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) cho các biến m và n.
2. Phân tích phương trình $(m^3 + n)(m + n^3) = p^3$ để tìm các giá trị nguyên dương của m, n và số nguyên tố p.

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
- m và n là các số nguyên dương, do đó m > 0 và n > 0.

Bước 2: Phân tích phương trình
$$
(m^3 + n)(m + n^3) = p^3
$$

Chúng ta sẽ thử các giá trị nhỏ của m và n để tìm ra các giá trị phù hợp.

Trường hợp 1: $m = 1$
$$
(1^3 + n)(1 + n^3) = p^3
$$
$$
(1 + n)(1 + n^3) = p^3
$$

Thử $n = 1$:
$$
(1 + 1)(1 + 1^3) = p^3
$$
$$
2 \cdot 2 = p^3
$$
$$
4 = p^3
$$
$$
p = \sqrt[3]{4}
$$
p không phải là số nguyên tố.

Thử $n = 2$:
$$
(1 + 2)(1 + 2^3) = p^3
$$
$$
3 \cdot 9 = p^3
$$
$$
27 = p^3
$$
$$
p = 3
$$
p là số nguyên tố.

Vậy, $m = 1$, $n = 2$, $p = 3$ là một nghiệm.

Trường hợp 2: $m = 2$
$$
(2^3 + n)(2 + n^3) = p^3
$$
$$
(8 + n)(2 + n^3) = p^3
$$

Thử $n = 1$:
$$
(8 + 1)(2 + 1^3) = p^3
$$
$$
9 \cdot 3 = p^3
$$
$$
27 = p^3
$$
$$
p = 3
$$
p là số nguyên tố.

Vậy, $m = 2$, $n = 1$, $p = 3$ là một nghiệm.

Kết luận:
Các cặp số nguyên dương m, n và số nguyên tố p thỏa mãn phương trình $(m^3 + n)(m + n^3) = p^3$ là:
- $m = 1$, $n = 2$, $p = 3$
- $m = 2$, $n = 1$, $p = 3$

Đáp số: $m = 1$, $n = 2$, $p = 3$ hoặc $m = 2$, $n = 1$, $p = 3$.