Câu IV nhé.

Câu IV: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = x + y \) với điều kiện \( x^2 + y^2 = 1 \). Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Điều kiện xác định của \( x \) và \( y \) là \( x^2 + y^2 = 1 \). Vì \( x^2 \geq 0 \) và \( y^2 \geq 0 \), nên \( -1 \leq x \leq 1 \) và \( -1 \leq y \leq 1 \). Bước 2: Biến đổi biểu thức \( P \) - Ta có \( P = x + y \). Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \( P \) - Ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \( P \). Bước 4: Đặt \( f(x, y) = x + y \) và \( g(x, y) = x^2 + y^2 - 1 \). - Ta sẽ sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange để tìm cực trị của \( f(x, y) \) dưới ràng buộc \( g(x, y) = 0 \). Bước 5: Tính đạo hàm riêng của \( f(x, y) \) và \( g(x, y) \): - \( \frac{\partial f}{\partial x} = 1 \) - \( \frac{\partial f}{\partial y} = 1 \) - \( \frac{\partial g}{\partial x} = 2x \) - \( \frac{\partial g}{\partial y} = 2y \) Bước 6: Thiết lập hệ phương trình: \[ \nabla f = \lambda \nabla g \] \[ 1 = \lambda \cdot 2x \] \[ 1 = \lambda \cdot 2y \] Bước 7: Giải hệ phương trình: \[ 1 = \lambda \cdot 2x \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2x} \] \[ 1 = \lambda \cdot 2y \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2y} \] Do đó: \[ \frac{1}{2x} = \frac{1}{2y} \Rightarrow x = y \] Bước 8: Thay \( x = y \) vào điều kiện \( x^2 + y^2 = 1 \): \[ x^2 + x^2 = 1 \Rightarrow 2x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \] Bước 9: Tìm giá trị của \( P \) tại các điểm này: - Khi \( x = \frac{1}{\sqrt{2}} \) và \( y = \frac{1}{\sqrt{2}} \): \[ P = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \] - Khi \( x = -\frac{1}{\sqrt{2}} \) và \( y = -\frac{1}{\sqrt{2}} \): \[ P = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} \] Bước 10: Kết luận - Giá trị lớn nhất của \( P \) là \( \sqrt{2} \), đạt được khi \( x = \frac{1}{\sqrt{2}} \) và \( y = \frac{1}{\sqrt{2}} \). - Giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( -\sqrt{2} \), đạt được khi \( x = -\frac{1}{\sqrt{2}} \) và \( y = -\frac{1}{\sqrt{2}} \). Đáp số: - Giá trị lớn nhất của \( P \) là \( \sqrt{2} \), đạt được khi \( x = \frac{1}{\sqrt{2}} \) và \( y = \frac{1}{\sqrt{2}} \). - Giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( -\sqrt{2} \), đạt được khi \( x = -\frac{1}{\sqrt{2}} \) và \( y = -\frac{1}{\sqrt{2}} \). Câu IV: Ta có xác suất để lấy ra ít nhất một viên bi màu đỏ là 0,976 nên xác suất để lấy ra toàn bi màu xanh là 0,024. Ta có xác suất để lấy ra toàn bi màu xanh là: \[ \frac{2}{a+2} \cdot \frac{3}{b+3} \cdot \frac{4}{10} = 0,024 \] Suy ra: \[ \frac{1}{(a+2)(b+3)} = 0,002 \] Hay: \[ (a+2)(b+3) = 500 \] Lại có xác suất để lấy ra cả ba viên bi màu đỏ là 0,336 nên ta có: \[ \frac{a}{a+2} \cdot \frac{b}{b+3} \cdot \frac{6}{10} = 0,336 \] Suy ra: \[ \frac{ab}{(a+2)(b+3)} = 0,56 \] Từ đó suy ra \( ab = 280 \). Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} ab = 280 \\ (a+2)(b+3) = 500 \end{cases} \] ta được \( a = 20, b = 14 \). Xác suất để lấy được đúng hai viên bi màu đỏ là: \[ \frac{20}{22} \cdot \frac{14}{17} \cdot \frac{4}{10} + \frac{20}{22} \cdot \frac{3}{17} \cdot \frac{6}{10} + \frac{2}{22} \cdot \frac{14}{17} \cdot \frac{6}{10} = \frac{1332}{1870} = 0,7123 \]