Bài 1:
a) Ta có
b) Ta có
c) Ta có
d) Ta có
Bài 2:
a) Ta thấy tất cả các hạng tử đều có 3x làm nhân tử chung nên ta đặt 3x làm nhân tử chung.
Ta có:
b) Ta nhóm các hạng tử một cách thích hợp rồi đặt nhân tử chung.
Ta có:
Bài 3:
Để tính diện tích của sân vận động, ta sử dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật:
Với chiều dài là và chiều rộng là , ta có:
Bây giờ, ta thực hiện phép nhân hai đa thức:
1. Nhân với :
2. Nhân với :
3. Cộng các kết quả lại:
4. Rút gọn:
Vậy, biểu thức tính diện tích của sân vận động dưới dạng đa thức là:
Bài 4:
Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông. Hãy xem xét tam giác vuông được tạo thành bởi:
- Thanh gỗ là cạnh huyền của tam giác vuông, có độ dài 2,6m.
- Khoảng cách từ chân thanh gỗ đến mép tường là một cạnh góc vuông, có độ dài 1m.
- Khoảng cách từ điểm thanh gỗ chạm vào tường đến mặt đất là cạnh góc vuông còn lại, ký hiệu là .
Theo định lý Pythagore, trong tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông. Do đó, ta có phương trình:
Tính toán từng bước:
1. Tính :
2. Tính :
3. Thay vào phương trình:
4. Giải phương trình để tìm :
5. Tìm bằng cách lấy căn bậc hai của 5,76:
Vậy, khoảng cách từ điểm thanh gỗ chạm vào tường đến mặt đất là 2,4 mét.
Bài 5:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần của bài toán.
a) Chứng minh tứ giác AEMF là hình chữ nhật
1. Xét tứ giác AEMF:
- Ta có tại E (giả thiết).
- Ta có tại F (giả thiết).
2. Chứng minh AEMF là hình chữ nhật:
- Trong tam giác vuông vuông tại A, đường trung tuyến có tính chất: .
- Do và , nên và .
- Từ đó, tứ giác có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, do đó là hình chữ nhật.
b) Chứng minh tứ giác BEFM là hình bình hành
1. Xét tứ giác BEFM:
- Ta đã có và từ phần a).
2. Chứng minh BEFM là hình bình hành:
- Do và , nên và .
- Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song, do đó là hình bình hành.
c) Chứng minh tứ giác EFMH là hình thang cân
1. Kẻ đường cao AH:
- AH là đường cao của tam giác vuông , do đó .
2. Xét tứ giác EFMH:
- Ta đã có và từ phần a).
- Do , nên .
3. Chứng minh EFMH là hình thang cân:
- Tứ giác có hai cạnh đối song song là .
- Để chứng minh là hình thang cân, ta cần chứng minh .
- Do (vì là hình chữ nhật), và là đường cao, nên .
- Từ đó, tứ giác là hình thang cân.
Vậy, chúng ta đã chứng minh được các phần của bài toán theo yêu cầu.