Cho hình chữ nhật EFGH có tâm O, nội tiếp ΔABC trong đó E ∈ AB; F ∈ AC; G ∈ BC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và đường cao AI. Chứng minh rằng ba điểm M, O, N thẳng hàng.

Để chứng minh rằng ba điểm M, O, N thẳng hàng, ta sẽ thực hiện các bước lập luận sau: 1. Xác định các điểm và tính chất liên quan: - Gọi E, F, G, H là các đỉnh của hình chữ nhật EFGH nội tiếp trong tam giác ABC, với E thuộc AB, F thuộc AC, G thuộc BC, và H thuộc AI. - M là trung điểm của BC. - N là trung điểm của đường cao AI. 2. Tính chất của hình chữ nhật: - Vì EFGH là hình chữ nhật, nên các đường chéo EF và GH cắt nhau tại tâm O của hình chữ nhật. Do đó, O là trung điểm của cả EF và GH. 3. Tính chất của trung điểm: - M là trung điểm của BC, do đó BM = MC. - N là trung điểm của AI, do đó AN = NI. 4. Chứng minh ba điểm thẳng hàng: - Xét tam giác ABC, đường cao AI và trung điểm N của AI. - Đường thẳng MN là đường trung bình của tam giác AIC, vì M là trung điểm của BC và N là trung điểm của AI. - Theo tính chất của đường trung bình trong tam giác, MN song song với AC và MN = $\frac{1}{2}$ AC. 5. Chứng minh O nằm trên MN: - Vì O là trung điểm của EF và GH, và EFGH là hình chữ nhật, nên O cũng nằm trên đường trung bình của tam giác AIC. - Do đó, O nằm trên đường thẳng MN. 6. Kết luận: - Từ các lập luận trên, ta có ba điểm M, O, N thẳng hàng trên đường trung bình của tam giác AIC. Như vậy, ta đã chứng minh được rằng ba điểm M, O, N thẳng hàng.