*1 con lắc đơn có chiều dài 81 cm và vật nặng bằng 500g dao động điều hoà và biên độ góc là 10 lấy g=10, A tìm tần số góc cơ năng và biên độdài Btại thời điểm tôsc độ là 40 cm/s vật có động năng bằng b...

Cho bài toán con lắc đơn với các dữ liệu: - Chiều dài con lắc \( l = 81 \text{ cm} = 0.81 \text{ m} \) - Khối lượng vật nặng \( m = 500 \text{ g} = 0.5 \text{ kg} \) - Biên độ góc \( \theta_0 = 10^\circ = \frac{10 \pi}{180} = \frac{\pi}{18} \text{ rad} \) - Gia tốc trọng trường \( g = 10 \text{ m/s}^2 \) --- ### 1. Tần số góc \(\omega\) của con lắc đơn Công thức tần số góc của con lắc đơn nhỏ góc: \[ \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} = \sqrt{\frac{10}{0.81}} = \sqrt{12.3457} \approx 3.514 \text{ rad/s} \] --- ### 2. Biên độ dài (biên độ dao động theo chiều dài) \( A \) Biên độ góc là \(\theta_0\), biên độ dài là: \[ A = l \cdot \theta_0 = 0.81 \times \frac{\pi}{18} \approx 0.81 \times 0.1745 = 0.1414 \text{ m} = 14.14 \text{ cm} \] --- ### 3. Tại thời điểm vận tốc \( v = 40 \text{ cm/s} = 0.4 \text{ m/s} \), động năng là bao nhiêu? - Động năng: \[ W_d = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (0.4)^2 = 0.25 \times 0.16 = 0.04 \text{ J} \] --- ### 4. Tại thời điểm động năng bằng 2 lần thế năng: \( W_d = 2 W_t \) Ta biết tổng cơ năng \( W = W_d + W_t \). Nếu \( W_d = 2 W_t \) thì \[ W = W_d + W_t = 2 W_t + W_t = 3 W_t \Rightarrow W_t = \frac{W}{3}, \quad W_d = \frac{2W}{3} \] Biểu thức thế năng: \[ W_t = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \] Biểu thức động năng: \[ W_d = \frac{1}{2} m v^2 \] Tổng năng lượng (cơ năng) ở biên: \[ W = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \] Từ \( W_t = \frac{W}{3} \), ta có: \[ \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \implies x^2 = \frac{1}{3} A^2 \implies x = \frac{A}{\sqrt{3}} \] - \( x \) là biên độ dài lúc đó. --- ### 5. Li độ góc \(\theta\) tại thời điểm trên: \[ \theta = \frac{x}{l} = \frac{A / \sqrt{3}}{l} = \frac{A}{l \sqrt{3}} = \frac{0.1414}{0.81 \times 1.732} = \frac{0.1414}{1.404} \approx 0.1007 \text{ rad} \approx 5.77^\circ \] --- ### 6. Vận tốc \( v \) lúc đó: Biểu thức động năng: \[ W_d = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{2}{3} W = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 = \frac{1}{3} m \omega^2 A^2 \] \[ v^2 = \frac{2 W_d}{m} = \frac{2}{m} \times \frac{1}{2} m v^2 = v^2 \text{ (đã có)}. \] Ta có thể tính \( v \) từ: \[ v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} = \omega \sqrt{A^2 - \frac{A^2}{3}} = \omega A \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \omega A \sqrt{\frac{2}{3}} \] Tính: \[ v = 3.514 \times 0.1414 \times \sqrt{\frac{2}{3}} = 3.514 \times 0.1414 \times 0.8165 = 3.514 \times 0.1154 = 0.4055 \text{ m/s} = 40.55 \text{ cm/s} \] --- ### **Kết luận:** - Tần số góc: \(\boxed{\omega \approx 3.514 \text{ rad/s}}\) - Biên độ dài: \(\boxed{A \approx 14.14 \text{ cm}}\) - Động năng tại vận tốc 40 cm/s: \(\boxed{W_d = 0.04 \text{ J}}\) - Tại thời điểm động năng gấp đôi thế năng: - Li độ góc: \(\boxed{\theta \approx 5.77^\circ}\) - Vận tốc: \(\boxed{v \approx 40.55 \text{ cm/s}}\)