Một sóng cơ truyền dọc theo trục Ox. Phương trình dao động của phần tử tại một điểm trên phương truyền sóng là u = 4cos(20πt – π) (u tính bằng mm, t tính bằng s). Biết tốc độ truyền sóng bằng 60 cm/s....

Cho phương trình dao động của sóng: \[ u = 4 \cos(20\pi t - \pi) \] với \( u \) tính bằng mm, \( t \) tính bằng giây. Tốc độ truyền sóng: \[ v = 60 \text{ cm/s} = 600 \text{ mm/s} \] Điểm \( m \) có tọa độ \( x = 5 \text{ mm} \), thời điểm \( t = 1,25 \text{ s} \). --- ### Bước 1: Viết lại phương trình sóng theo cả \( x \) và \( t \) Phương trình sóng truyền dọc theo trục Ox thường có dạng: \[ u(x,t) = A \cos(\omega t - k x + \varphi_0) \] Ở đây, phương trình đã cho là: \[ u(t) = 4 \cos(20\pi t - \pi) \] Chưa có thành phần \( x \), tức là đang xét tại vị trí \( x = 0 \). --- ### Bước 2: Tính tần số góc và biên độ - Biên độ: \( A = 4 \text{ mm} \) - Tần số góc: \[ \omega = 20 \pi \text{ rad/s} \] --- ### Bước 3: Tính số sóng \( k \) từ vận tốc và tần số Tần số: \[ f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{20\pi}{2\pi} = 10 \text{ Hz} \] Từ đó, bước sóng: \[ \lambda = \frac{v}{f} = \frac{600}{10} = 60 \text{ mm} \] Số sóng: \[ k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{60} = \frac{\pi}{30} \text{ rad/mm} \] --- ### Bước 4: Viết lại phương trình dao động tại vị trí \( x = 5 \) mm \[ u(5, t) = 4 \cos(20\pi t - k \cdot 5 - \pi) \] Thay \( k = \frac{\pi}{30} \): \[ u(5, t) = 4 \cos\left(20\pi t - \frac{\pi}{30} \times 5 - \pi\right) = 4 \cos\left(20\pi t - \frac{5\pi}{30} - \pi\right) \] Rút gọn: \[ \frac{5\pi}{30} = \frac{\pi}{6} \] Vậy: \[ u(5,t) = 4 \cos\left(20\pi t - \frac{\pi}{6} - \pi\right) = 4 \cos\left(20\pi t - \frac{7\pi}{6}\right) \] --- ### Bước 5: Tính li độ tại \( t = 1,25 \) s \[ u(5,1.25) = 4 \cos\left(20\pi \times 1.25 - \frac{7\pi}{6}\right) \] Tính giá trị bên trong cosine: \[ 20\pi \times 1.25 = 25\pi \] \[ 25\pi - \frac{7\pi}{6} = \frac{150\pi}{6} - \frac{7\pi}{6} = \frac{143\pi}{6} \] --- ### Bước 6: Tính giá trị \(\cos\left(\frac{143\pi}{6}\right)\) Ta biết: \[ \cos(\theta) = \cos(\theta \pm 2\pi n) \] \( \frac{143\pi}{6} \) chia cho \( 2\pi = \frac{12\pi}{6} \), ta tính phần dư: \[ 143 \mod 12 = 143 - 11 \times 12 = 143 - 132 = 11 \] Vậy: \[ \cos\left(\frac{143\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{11\pi}{6}\right) \] Biết: \[ \cos\left(\frac{11\pi}{6}\right) = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] --- ### Bước 7: Kết luận \[ u(5,1.25) = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \approx 3.464 \text{ mm} \] --- ## Đáp án: Li độ của điểm có tọa độ 5 mm tại thời điểm 1,25 s là khoảng **3,464 mm**.