Câu 27 nhé.

Câu 27: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức \( P = x^2 + y^2 \) với điều kiện \( x + y = 2 \). Bước 1: Biểu diễn \( y \) theo \( x \): \[ y = 2 - x \] Bước 2: Thay \( y = 2 - x \) vào biểu thức \( P \): \[ P = x^2 + (2 - x)^2 \] \[ P = x^2 + 4 - 4x + x^2 \] \[ P = 2x^2 - 4x + 4 \] Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = 2x^2 - 4x + 4 \). Đây là một hàm bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a = 2 > 0 \), do đó đồ thị của nó là một parabol mở lên và đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh. Bước 4: Tìm tọa độ đỉnh của parabol: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \] Bước 5: Tính giá trị của \( P \) tại \( x = 1 \): \[ P = 2(1)^2 - 4(1) + 4 \] \[ P = 2 - 4 + 4 \] \[ P = 2 \] Bước 6: Vì \( a = 2 > 0 \), hàm \( P \) không có giá trị lớn nhất, nhưng có giá trị nhỏ nhất là 2. Kết luận: - Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là 2, đạt được khi \( x = 1 \) và \( y = 1 \). - Hàm \( P \) không có giá trị lớn nhất. Câu 27: Đặt \( y = 3\sin x - 4\cos x \). Ta có: \[ y^2 = (3\sin x - 4\cos x)^2 = 9\sin^2 x + 16\cos^2 x - 24\sin x \cos x \] Sử dụng công thức \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), ta có: \[ y^2 = 9(1 - \cos^2 x) + 16\cos^2 x - 24\sin x \cos x \] \[ y^2 = 9 + 7\cos^2 x - 24\sin x \cos x \] Ta cần tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \( y \): \[ y = 3\sin x - 4\cos x \] \[ y^2 = 9\sin^2 x + 16\cos^2 x - 24\sin x \cos x \] \[ y^2 = 9(1 - \cos^2 x) + 16\cos^2 x - 24\sin x \cos x \] \[ y^2 = 9 + 7\cos^2 x - 24\sin x \cos x \] Do đó, \( y \) nằm trong khoảng \([-5, 5]\). Bây giờ, ta xét bất đẳng thức: \[ (3\sin x - 4\cos x)^2 - 6\sin x + 4\cos x \geq 2m - 1 \] Thay \( y = 3\sin x - 4\cos x \), ta có: \[ y^2 - 6\sin x + 4\cos x \geq 2m - 1 \] Ta cần tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \( y^2 - 6\sin x + 4\cos x \): \[ y^2 - 6\sin x + 4\cos x = 9 + 7\cos^2 x - 24\sin x \cos x - 6\sin x + 4\cos x \] Do đó, \( y^2 - 6\sin x + 4\cos x \) nằm trong khoảng \([-25, 25]\). Để bất đẳng thức đúng với mọi giá trị thực của \( x \), ta cần: \[ 25 \geq 2m - 1 \] \[ 2m - 1 \leq 25 \] \[ 2m \leq 26 \] \[ m \leq 13 \] Và: \[ -25 \geq 2m - 1 \] \[ 2m - 1 \leq -25 \] \[ 2m \leq -24 \] \[ m \leq -12 \] Vậy, \( m \) nằm trong khoảng \([-12, 13]\). Số nguyên \( m \) trong khoảng này là: \[ m = -12, -11, -10, \ldots, 12, 13 \] Tổng cộng có 26 giá trị nguyên của \( m \). Đáp án: Có 26 số nguyên \( m \) trong khoảng \([-2023; 2024]\) để bất đẳng thức đúng với mọi giá trị thực của \( x \).