Nêu bất đẳng thức Cauchy

Bất đẳng thức Cauchy (còn gọi là bất đẳng thức AM-GM) phát biểu rằng trung bình cộng của hai số không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Cụ thể, nếu $$ và $$ là hai số không âm, thì ta có: $$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $$. Các bước lập luận để chứng minh bất đẳng thức Cauchy: 1. Xét hai số không âm $$ và $$. 2. Ta có $$. 3. Khai triển biểu thức trên, ta được: $$ 4. Suy ra: $$ 5. Chia cả hai vế cho 2, ta có: $$ Như vậy, bất đẳng thức Cauchy đã được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $$.