Tìm giá trị của tham số $m$ để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
$\begin{cases}
x^2 - 2x + m \ge 0 \
x - m \le 0
\end{cases}$

Question

Accepted Answer

Để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
$$
\begin{cases}
x^2 - 2x + m \ge 0 \
x - m \le 0
\end{cases}
$$

Bước 1: Xét bất phương trình thứ hai $x - m \le 0$:
$$ 
x \le m 
$$

Bước 2: Thay $x \le m$ vào bất phương trình đầu tiên $x^2 - 2x + m \ge 0$:
$$ 
x^2 - 2x + m \ge 0 \quad \text{với} \quad x \le m 
$$

Bước 3: Ta cần tìm giá trị của $m$ sao cho bất phương trình $x^2 - 2x + m \ge 0$ đúng với mọi $x \le m$.

Bước 4: Xét biểu thức $x^2 - 2x + m$ tại $x = m$:
$$ 
m^2 - 2m + m \ge 0 
$$
$$ 
m^2 - m \ge 0 
$$
$$ 
m(m - 1) \ge 0 
$$

Bước 5: Giải bất phương trình $m(m - 1) \ge 0$:
$$ 
m \le 0 \quad \text{hoặc} \quad m \ge 1 
$$

Bước 6: Kiểm tra các trường hợp:
- Nếu $m \le 0$, thì $x \le m \le 0$. Biểu thức $x^2 - 2x + m$ sẽ luôn không âm trong khoảng này.
- Nếu $m \ge 1$, thì $x \le m \ge 1$. Biểu thức $x^2 - 2x + m$ cũng sẽ luôn không âm trong khoảng này.

Do đó, giá trị của tham số $m$ để hệ bất phương trình có nghiệm là:
$$ 
m \le 0 \quad \text{hoặc} \quad m \ge 1 
$$

Tìm giá trị của tham số để hệ bất phương trình sau có nghiệm: