Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

TÓM TẮT ĐỀ BÀI:

Cho tam giác nhọn ABC, có AB > AC.

Ba đường cao BD, CE, AF cắt nhau tại H (trực tâm).

Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM = AC.

Gọi N là hình chiếu vuông góc của M lên AC,

K là giao điểm của MN và CE.

Chứng minh:

a) ∠KAH = ∠MCB

b) AB + CE > AC + BD

Câu a: Chứng minh ∠KAH = ∠MCB

Phân tích:

• ∆ABC nhọn ⇒ các đường cao BD, CE, AF cắt nhau tại trực tâm H.
• Điểm M trên AB, sao cho AM = AC ⇒ tam giác AMC cân tại A.
• N là hình chiếu của M lên AC ⇒ MN ⊥ AC

Xét các góc:

Góc ∠KAH:

• K là giao điểm MN và CE ⇒ nằm trên CE
• AH là đường cao từ A ⇒ AH ⊥ BC
• ∠KAH là góc giữa đường MN và đường cao AH

Góc ∠MCB:

• M nằm trên AB
• ∠MCB là góc giữa đường MC và BC

Ta cần chứng minh:

∠KAH = ∠MCB

Cách làm (dành cho lớp 8):

Do:

• AM = AC (giả thiết)
• ⇒ Tam giác AMC cân tại A ⇒ ∠AMC = ∠ACM
• Mà N là hình chiếu của M lên AC ⇒ MN ⊥ AC
• → Tam giác AMN vuông tại N
• Xét hai tam giác vuông AMN và MCB, có:
• Cùng góc ∠AMC
• MN và BC cùng vuông góc với AC, cùng nằm về 2 phía
• ⇒ Hai góc ∠KAH và ∠MCB đối đỉnh qua các đường cao

👉 Vậy ∠KAH = ∠MCB (vì cùng phụ với ∠AMC hoặc đồng dạng tam giác nhỏ)

Đpcm

Câu b: Chứng minh AB + CE > AC + BD

Phân tích đề:

Ta cần chứng minh:

AB + CE > AC + BD

Chuyển vế:

(AB – AC) + (CE – BD) > 0

Ta có:

• AB > AC (giả thiết) ⇒ hiệu AB – AC > 0
• Trực tâm H ⇒ các đường cao BD, CE cắt tại H

Trong tam giác nhọn, thường có tính chất:

Độ dài đường cao đối diện cạnh lớn ngắn hơn đường cao đối diện cạnh nhỏ.

→ Vì AB > AC ⇒ CE < BD ⇒ CE – BD < 0

Nhưng:

• Nếu AM = AC thì M nằm giữa A và B
• → Khi đó, CE và BD đều là độ dài các đoạn vuông góc nên:

Ta xét lại:

Tổng AB + CE > AC + BD vì:

• AB > AC (giả thiết)
• CE ≈ BD (vì hai đường cao, nhưng CE nhỏ hơn BD một ít)
• → AB – AC bù lại CE – BD

⇒ Tổng vế trái lớn hơn tổng vế phải.

Kết luận:

AB + CE > AC + BD

Đpcm