Giúp mình với! Câu 24. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^2e^x.$,$A.~\int f(x)dx=(x^2-2x+2)e^x+C.$ $B.~\int f(x)dx=(2x^2-x+2)e^x+C.$,$C.~\int f(x)dx=(x^2+2x+2)e^x+C.$ $D.~\int f(x)dx=(x^2-2x-2)e^x+C.$

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 24:
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = x^2 e^x $, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân từng phần.

Bước 1: Đặt $ u = x^2 $ và $ dv = e^x \, dx $.

Bước 2: Tính $ du $ và $ v $:
$$ du = 2x \, dx $$
$$ v = \int e^x \, dx = e^x $$

Bước 3: Áp dụng công thức tích phân từng phần:
$$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $$
$$ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx $$

Bước 4: Tính tích phân $\int 2x e^x \, dx$ bằng phương pháp tích phân từng phần lần nữa:
- Đặt $ u_1 = 2x $ và $ dv_1 = e^x \, dx $
- Tính $ du_1 $ và $ v_1 $:
$$ du_1 = 2 \, dx $$
$$ v_1 = \int e^x \, dx = e^x $$

Bước 5: Áp dụng công thức tích phân từng phần lần thứ hai:
$$ \int 2x e^x \, dx = 2x e^x - \int 2 e^x \, dx $$
$$ \int 2 e^x \, dx = 2 e^x $$

Bước 6: Kết hợp các kết quả:
$$ \int 2x e^x \, dx = 2x e^x - 2 e^x $$

Bước 7: Thay vào công thức ban đầu:
$$ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2 e^x) + C $$
$$ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x + C $$
$$ \int x^2 e^x \, dx = (x^2 - 2x + 2) e^x + C $$

Vậy, đáp án đúng là:
$$ A.~\int f(x)dx=(x^2-2x+2)e^x+C. $$