Câu 4 nhé.

Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = x + y \) với điều kiện \( x^2 + y^2 = 1 \). Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Điều kiện xác định của \( x \) và \( y \) là \( x^2 + y^2 = 1 \). Vì \( x^2 \geq 0 \) và \( y^2 \geq 0 \), nên \( -1 \leq x \leq 1 \) và \( -1 \leq y \leq 1 \). Bước 2: Biến đổi biểu thức \( P \) - Ta có \( P = x + y \). Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz - Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: \[ (x^2 + y^2)(1^2 + 1^2) \geq (x + y)^2 \] \[ 1 \cdot 2 \geq (x + y)^2 \] \[ 2 \geq (x + y)^2 \] \[ \sqrt{2} \geq |x + y| \] Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \( P \) - Từ bất đẳng thức trên, ta suy ra: \[ -\sqrt{2} \leq x + y \leq \sqrt{2} \] Do đó, giá trị lớn nhất của \( P \) là \( \sqrt{2} \) và giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( -\sqrt{2} \). Bước 5: Kiểm tra các trường hợp đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất - Giá trị lớn nhất \( \sqrt{2} \) đạt được khi \( x = y = \frac{\sqrt{2}}{2} \). - Giá trị nhỏ nhất \( -\sqrt{2} \) đạt được khi \( x = y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Kết luận: Giá trị lớn nhất của \( P \) là \( \sqrt{2} \), đạt được khi \( x = y = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( -\sqrt{2} \), đạt được khi \( x = y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Câu 4: Để tìm giá trị của biểu thức \(\lim_{x\rightarrow-1^-}f(x)+\lim_{x\rightarrow2}f(x)\), ta cần xác định từng giới hạn riêng lẻ. 1. Tính \(\lim_{x\rightarrow-1^-}f(x)\): - Khi \(x\) tiến tới \(-1\) từ phía bên trái (\(x \rightarrow -1^-\)), ta quan sát đồ thị thấy rằng giá trị của hàm số \(f(x)\) tiến tới \(3\). - Vậy \(\lim_{x\rightarrow-1^-}f(x) = 3\). 2. Tính \(\lim_{x\rightarrow2}f(x)\): - Khi \(x\) tiến tới \(2\), ta quan sát đồ thị thấy rằng giá trị của hàm số \(f(x)\) tiến tới \(1\). - Vậy \(\lim_{x\rightarrow2}f(x) = 1\). 3. Tính tổng của hai giới hạn: \[ \lim_{x\rightarrow-1^-}f(x) + \lim_{x\rightarrow2}f(x) = 3 + 1 = 4 \] Vậy giá trị của biểu thức là \(4\).