Tìm giá trị hằng số k.

Câu 8: Để tìm giá trị của \( k \) sao cho đường thẳng \( x = k \) chia đều diện tích vùng được giới hạn bởi hai đồ thị \( y = x^2 - 5x \) và \( y = x \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm giao điểm của hai đồ thị Ta cần tìm các giao điểm của hai đồ thị bằng cách giải phương trình: \[ x^2 - 5x = x \] \[ x^2 - 6x = 0 \] \[ x(x - 6) = 0 \] Vậy, hai giao điểm là \( x = 0 \) và \( x = 6 \). Bước 2: Tính diện tích vùng giới hạn Diện tích vùng giới hạn bởi hai đồ thị từ \( x = 0 \) đến \( x = 6 \) được tính bằng: \[ A = \int_{0}^{6} |(x^2 - 5x) - x| \, dx = \int_{0}^{6} |x^2 - 6x| \, dx \] Bước 3: Xác định khoảng tích phân Ta xét dấu của biểu thức \( x^2 - 6x \): - \( x^2 - 6x = x(x - 6) \) có nghiệm tại \( x = 0 \) và \( x = 6 \). - Trên khoảng \( (0, 6) \), biểu thức \( x^2 - 6x \) âm khi \( 0 < x < 6 \). Do đó, ta có: \[ A = \int_{0}^{6} (6x - x^2) \, dx \] Bước 4: Tính diện tích Tính tích phân: \[ A = \int_{0}^{6} (6x - x^2) \, dx = \left[ 3x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{6} \] \[ = \left( 3(6)^2 - \frac{(6)^3}{3} \right) - \left( 3(0)^2 - \frac{(0)^3}{3} \right) \] \[ = (108 - 72) - 0 = 36 \] Bước 5: Tìm \( k \) sao cho diện tích hai phần bằng nhau Ta cần tìm \( k \) sao cho: \[ \int_{0}^{k} (6x - x^2) \, dx = \frac{36}{2} = 18 \] Giải phương trình: \[ \left[ 3x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{k} = 18 \] \[ 3k^2 - \frac{k^3}{3} = 18 \] \[ k^3 - 9k^2 + 54 = 0 \] Bước 6: Giải phương trình bậc ba Phương trình \( k^3 - 9k^2 + 54 = 0 \) có thể được giải bằng cách thử nghiệm các nghiệm hữu tỉ hoặc sử dụng phương pháp khác phù hợp với trình độ lớp 11. Sau khi thử nghiệm, ta tìm được nghiệm \( k = 3 \). Kết luận Giá trị \( k = 3 \) là giá trị cần tìm để đường thẳng \( x = k \) chia đều diện tích vùng được giới hạn bởi hai đồ thị.