Tính giá trị k. Câu 9 (3đ). Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của đường,thẳng $y=2x+k$ với hai đường cong $y=(\frac23)^{x+3}+1$,và $y=(\frac23)^{x+1}+\frac83.$ Khi $PQ=\sqrt5.$ giá trị của k là:

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 9:
Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của $ k $ sao cho khoảng cách giữa hai điểm $ P $ và $ Q $ là $ \sqrt{5} $.

Bước 1: Tìm tọa độ điểm $ P $

Điểm $ P $ là giao điểm của đường thẳng $ y = 2x + k $ với đường cong $ y = \left(\frac{2}{3}\right)^{x+3} + 1 $.

Phương trình hoành độ giao điểm là:
$$
2x + k = \left(\frac{2}{3}\right)^{x+3} + 1
$$

Bước 2: Tìm tọa độ điểm $ Q $

Điểm $ Q $ là giao điểm của đường thẳng $ y = 2x + k $ với đường cong $ y = \left(\frac{2}{3}\right)^{x+1} + \frac{8}{3} $.

Phương trình hoành độ giao điểm là:
$$
2x + k = \left(\frac{2}{3}\right)^{x+1} + \frac{8}{3}
$$

Bước 3: Tính khoảng cách $ PQ $

Giả sử $ x_1 $ và $ x_2 $ lần lượt là nghiệm của hai phương trình trên, thì khoảng cách $ PQ $ là:
$$
PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + ((2x_2 + k) - (2x_1 + k))^2} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (2(x_2 - x_1))^2}
$$
$$
= \sqrt{5(x_2 - x_1)^2} = \sqrt{5} \cdot |x_2 - x_1|
$$

Do đó, ta có:
$$
|x_2 - x_1| = 1
$$

Bước 4: Giải hệ phương trình

Từ hai phương trình:
1. $ 2x_1 + k = \left(\frac{2}{3}\right)^{x_1+3} + 1 $
2. $ 2x_2 + k = \left(\frac{2}{3}\right)^{x_2+1} + \frac{8}{3} $

Và điều kiện $ |x_2 - x_1| = 1 $, ta có thể thử nghiệm các giá trị $ x_1 $ và $ x_2 $ sao cho $ x_2 = x_1 + 1 $.

Bước 5: Thử nghiệm và tìm $ k $

Giả sử $ x_1 = a $ và $ x_2 = a + 1 $, ta có:
$$
2a + k = \left(\frac{2}{3}\right)^{a+3} + 1
$$
$$
2(a+1) + k = \left(\frac{2}{3}\right)^{a+2} + \frac{8}{3}
$$

Trừ hai phương trình:
$$
2(a+1) + k - (2a + k) = \left(\frac{2}{3}\right)^{a+2} + \frac{8}{3} - \left(\frac{2}{3}\right)^{a+3} - 1
$$
$$
2 = \left(\frac{2}{3}\right)^{a+2} - \left(\frac{2}{3}\right)^{a+3} + \frac{8}{3} - 1
$$
$$
2 = \left(\frac{2}{3}\right)^{a+2} \left(1 - \frac{2}{3}\right) + \frac{5}{3}
$$
$$
2 = \frac{1}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^{a+2} + \frac{5}{3}
$$
$$
2 - \frac{5}{3} = \frac{1}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^{a+2}
$$
$$
\frac{1}{3} = \frac{1}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^{a+2}
$$
$$
1 = \left(\frac{2}{3}\right)^{a+2}
$$

Từ đó, $ a+2 = 0 $ hay $ a = -2 $.

Thay $ a = -2 $ vào phương trình đầu tiên để tìm $ k $:
$$
2(-2) + k = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2+3} + 1
$$
$$
-4 + k = \frac{2}{3} + 1
$$
$$
-4 + k = \frac{5}{3}
$$
$$
k = \frac{5}{3} + 4 = \frac{5}{3} + \frac{12}{3} = \frac{17}{3}
$$

Vậy giá trị của $ k $ là $ \frac{17}{3} $.