Tính giá trị biểu thức. Câu 12 (4đ). Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thoả,mãn $(f(x))^3-(f(x))^2-x^2f(x)+x^2=0,~\forall x\in\mathbb{R}.$ Biết,rằng max $f(x)=1,\min_{\mathbb{R}}f(x)=0,$ giá trị của biểu thức,$f(-\frac43)+f(0)+f(\frac12)$ là:

Question

Accepted Answer

Câu 12:
Ta có $(f(x))^3-(f(x))^2-x^2f(x)+x^2=0$
$\Leftrightarrow (f(x))^2(f(x)-1)+x^2(1-f(x))=0$
$\Leftrightarrow (f(x)-1)(f^2(x)-x^2)=0$
$\Leftrightarrow f(x)-1=0$ hoặc $f^2(x)-x^2=0$
$\Leftrightarrow f(x)=1$ hoặc $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$
Do đó ta có $f(x)\in \left\{1,x,-x\right\},\forall x\in \mathbb{R}$. 
Mặt khác do tính liên tục của hàm số $f(x)$ nên ta suy ra $f(x)$ nhận một trong ba giá trị trên với mọi $x\in \mathbb{R}$. 
Từ đây dễ dàng suy ra $f(x)=1$ hoặc $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. 
Do $max f(x)=1$ và $min f(x)=0$ nên $f(x)=-x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. 
Vậy $f(-\frac{4}{3})+f(0)+f(\frac{1}{2})=\frac{4}{3}+0+\frac{1}{2}=\frac{11}{6}$.