Tìm m để hàm số $y = (m - 1)x^2 - 2(m + 1)x + 3$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Để hàm số \( y = (m - 1)x^2 - 2(m + 1)x + 3 \) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), ta cần đảm bảo rằng đạo hàm của nó luôn dương trên toàn bộ miền xác định. Tuy nhiên, vì chúng ta không sử dụng khái niệm đạo hàm, ta sẽ dựa vào tính chất của hàm bậc hai. Hàm số \( y = ax^2 + bx + c \) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \( a < 0 \) và đỉnh của parabol nằm phía bên trái của trục \( y \). Trong trường hợp này: - Hệ số \( a = m - 1 \) - Hệ số \( b = -2(m + 1) \) Điều kiện để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) là: 1. \( a < 0 \) 2. Đỉnh của parabol nằm phía bên trái của trục \( y \), tức là \( -\frac{b}{2a} < 0 \). Bây giờ, ta sẽ kiểm tra các điều kiện này: 1. Điều kiện \( a < 0 \): \[ m - 1 < 0 \] \[ m < 1 \] 2. Điều kiện đỉnh của parabol nằm phía bên trái của trục \( y \): \[ -\frac{-2(m + 1)}{2(m - 1)} < 0 \] \[ \frac{2(m + 1)}{2(m - 1)} < 0 \] \[ \frac{m + 1}{m - 1} < 0 \] Phân tích dấu của biểu thức \(\frac{m + 1}{m - 1}\): - Biểu thức này âm khi \( m + 1 \) và \( m - 1 \) có dấu khác nhau. - Điều này xảy ra khi \( -1 < m < 1 \). Kết hợp cả hai điều kiện: \[ m < 1 \] \[ -1 < m < 1 \] Do đó, \( m \) phải thỏa mãn: \[ -1 < m < 1 \] Vậy, giá trị của \( m \) để hàm số \( y = (m - 1)x^2 - 2(m + 1)x + 3 \) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) là: \[ -1 < m < 1 \]