Cho tam giác ABC vuông tại B. Đường cao BH. Biết AH = 3,6cm. HC = 6,4cm
a) Tính AB; AC; BH
b) Kẻ HE LAB và HF 1 BC. Tính EF
c) Chứng minh: BE.AB = BF.BC
d) Chứng minh: tam giác BEF đồng dạng tam giác ABC
e) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh: BM vuông góc EF
f) Chứng minh: BE.AE +BF.FC = AH.HC

Question

Cho tam giác ABC vuông tại B. Đường cao BH. Biết AH = 3,6cm. HC = 6,4cm 
a) Tính AB; AC; BH
b) Kẻ HE LAB và HF 1 BC. Tính EF 
c) Chứng minh: BE.AB = BF.BC 
d) Chứng minh: tam giác BEF đồng dạng tam giác ABC 
e) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh: BM vuông góc EF 
f) Chứng minh: BE.AE +BF.FC = AH.HC

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần theo yêu cầu.

a) Tính AB, AC, BH

Trong tam giác vuông ABC vuông tại B, đường cao BH chia AC thành hai đoạn AH và HC. Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:

$$ AB^2 = AH \times AC $$
$$ BC^2 = HC \times AC $$
$$ BH^2 = AH \times HC $$

Từ đó, ta có:

1. Tính AC:
   $$ AC = AH + HC = 3,6 + 6,4 = 10 \, \text{cm} $$

2. Tính AB:
   $$ AB^2 = AH \times AC = 3,6 \times 10 = 36 $$
   $$ AB = \sqrt{36} = 6 \, \text{cm} $$

3. Tính BH:
   $$ BH^2 = AH \times HC = 3,6 \times 6,4 = 23,04 $$
   $$ BH = \sqrt{23,04} = 4,8 \, \text{cm} $$

b) Kẻ HE vuông góc AB và HF vuông góc BC. Tính EF

Do HE vuông góc AB và HF vuông góc BC, nên HE và HF là các đường cao của tam giác vuông BHE và BHF. Ta có:

$$ \frac{HE}{AB} = \frac{HF}{BC} = \frac{BH}{AC} $$

Từ đó, ta có:

$$ HE = \frac{BH \times AB}{AC} = \frac{4,8 \times 6}{10} = 2,88 \, \text{cm} $$
$$ HF = \frac{BH \times BC}{AC} = \frac{4,8 \times 8}{10} = 3,84 \, \text{cm} $$

Do đó, EF là đoạn thẳng nối hai điểm E và F, nên:

$$ EF = \sqrt{HE^2 + HF^2} = \sqrt{2,88^2 + 3,84^2} = \sqrt{8,2944 + 14,7456} = \sqrt{23,04} = 4,8 \, \text{cm} $$

c) Chứng minh: BE.AB = BF.BC

Ta có:

- BE là đường cao từ B đến AC trong tam giác vuông BHE.
- BF là đường cao từ B đến AC trong tam giác vuông BHF.

Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:

$$ BE \times AB = BH^2 = BF \times BC $$

Do đó, BE.AB = BF.BC.

d) Chứng minh: tam giác BEF đồng dạng tam giác ABC

Xét tam giác BEF và tam giác ABC:

- Góc B chung.
- Góc EBF = góc BAC (cùng phụ với góc BHE).

Do đó, tam giác BEF đồng dạng với tam giác ABC theo trường hợp góc-góc (AA).

e) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh: BM vuông góc EF

Do M là trung điểm của AC, nên AM = MC. Trong tam giác vuông ABC, đường trung tuyến BM từ đỉnh góc vuông B đến cạnh huyền AC có tính chất:

$$ BM = \frac{1}{2} \times AC = \frac{10}{2} = 5 \, \text{cm} $$

Do đó, BM vuông góc với EF vì EF là đường trung bình của tam giác vuông BHE và BHF.

f) Chứng minh: BE.AE + BF.FC = AH.HC

Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:

$$ BE \times AE = AH \times BH $$
$$ BF \times FC = HC \times BH $$

Cộng hai đẳng thức trên, ta có:

$$ BE \times AE + BF \times FC = AH \times BH + HC \times BH = BH \times (AH + HC) = BH \times AC $$

Do đó, BE.AE + BF.FC = AH.HC.

Cho tam giác ABC vuông tại B. Đường cao BH. Biết AH = 3,6cm. HC = 6,4cm a) Tính AB; AC; BH b) Kẻ HE LAB và HF 1 BC. Tính EF c) Chứng minh: BE.AB = BF.BC d) Chứng minh: tam giác BEF đồng dạng tam giá...