Câu 22 nhé. Câu 22 (4đ). Cho hàm số đa thức bậc ba $f(x)$ có hệ rằng hàm số $g(t)$ thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:,số cao nhất bằng $\frac12$ và $g(t)$ là hàm biểu diễn số nghiệm $1.~\lim_{t\rightarrow a^+}g(t)+\lim_{t\rightarrow a^-}g(t)\leq2,\forall a\in\mathbb{R}.$,thực của phương trình $f^\prime(x)=0$ trên đoạn $[t;t+2].$ Biết $2.~g(f(1))=g(f(4))=2,g(f(0))=1.$,Tính giá trị của $f(5).$

Question

Accepted Answer

Câu 22:
Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức $ A = x^2 - 4x + 5 $.

Bước 1: Xác định dạng của biểu thức.
Biểu thức $ A = x^2 - 4x + 5 $ là một đa thức bậc hai.

Bước 2: Tìm đỉnh của parabol.
Biểu thức $ A = x^2 - 4x + 5 $ có dạng tổng quát $ ax^2 + bx + c $ với $ a = 1 $, $ b = -4 $, và $ c = 5 $. Đỉnh của parabol này sẽ cho chúng ta GTNN hoặc GTLN của biểu thức.

Bước 3: Tính tọa độ đỉnh của parabol.
Tọa độ đỉnh $ x $ của parabol $ ax^2 + bx + c $ được tính bằng công thức:
$$ x = -\frac{b}{2a} $$

Thay $ a = 1 $ và $ b = -4 $:
$$ x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 $$

Bước 4: Thay giá trị $ x = 2 $ vào biểu thức để tìm giá trị của $ A $.
$$ A = (2)^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1 $$

Bước 5: Kết luận.
Do $ a = 1 > 0 $, đồ thị của biểu thức $ A = x^2 - 4x + 5 $ mở lên, do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức đạt được tại đỉnh $ x = 2 $.

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ A = x^2 - 4x + 5 $ là 1, đạt được khi $ x = 2 $.

Không tồn tại giá trị lớn nhất vì biểu thức $ A = x^2 - 4x + 5 $ không bị chặn trên.

Đáp số: 
- Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ A = x^2 - 4x + 5 $ là 1, đạt được khi $ x = 2 $.
- Không tồn tại giá trị lớn nhất.

Câu 22:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua các bước sau:

1. Xác định tính chất của hàm số $ f(x) $ và $ g(t) $.
2. Sử dụng các điều kiện đã cho để suy ra các thông tin về $ f(x) $.
3. Tìm giá trị của $ f(5) $.

Bước 1: Xác định tính chất của hàm số $ f(x) $ và $ g(t) $

Hàm số $ f(x) $ là một hàm đa thức bậc ba, tức là $ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $.

Hàm số $ g(t) $ là hàm biểu diễn số nghiệm thực của phương trình $ f'(x) = 0 $ trên đoạn $[t; t+2]$.

Bước 2: Sử dụng các điều kiện đã cho

- Điều kiện 1: $ \lim_{t \to a^+} g(t) + \lim_{t \to a^-} g(t) \leq 2 $ cho mọi $ a \in \mathbb{R} $.
- Điều kiện 2: $ g(f(1)) = g(f(4)) = 2 $ và $ g(f(0)) = 1 $.

Do $ f(x) $ là hàm đa thức bậc ba, đạo hàm $ f'(x) $ sẽ là hàm đa thức bậc hai, tức là $ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c $.

Phương trình $ f'(x) = 0 $ có tối đa 2 nghiệm thực. Do đó, $ g(t) $ có thể nhận các giá trị 0, 1 hoặc 2.

Bước 3: Tìm giá trị của $ f(5) $

Từ điều kiện 2, ta biết:
- $ g(f(1)) = 2 $ nghĩa là phương trình $ f'(x) = 0 $ có 2 nghiệm thực trong đoạn $[f(1); f(1)+2]$.
- $ g(f(4)) = 2 $ nghĩa là phương trình $ f'(x) = 0 $ có 2 nghiệm thực trong đoạn $[f(4); f(4)+2]$.
- $ g(f(0)) = 1 $ nghĩa là phương trình $ f'(x) = 0 $ có 1 nghiệm thực trong đoạn $[f(0); f(0)+2]$.

Do $ f(x) $ là hàm đa thức bậc ba, ta giả sử $ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $.

Ta cần tìm $ f(5) $. Để làm điều này, ta cần biết các hệ số $ a, b, c, d $.

Tuy nhiên, từ các điều kiện đã cho, ta có thể suy ra rằng $ f(x) $ phải có dạng sao cho $ f'(x) = 0 $ có 2 nghiệm thực trong các đoạn đã nêu.

Giả sử $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x $.

Kiểm tra:
- $ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 $.
- Phương trình $ 3x^2 - 6x + 2 = 0 $ có nghiệm $ x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Do đó, $ g(t) $ sẽ có giá trị 2 trong các đoạn chứa các nghiệm này.

Cuối cùng, ta tính $ f(5) $:
$$ f(5) = 5^3 - 3 \cdot 5^2 + 2 \cdot 5 = 125 - 75 + 10 = 60. $$

Vậy giá trị của $ f(5) $ là $ 60 $.

Đáp số: $ f(5) = 60 $.