Giúp mình với! Câu 64 [25753]: Đặt $a=\ln2,~b=\ln5.$ Hãy biểu diễn $I=\ln\frac12+\ln\frac23+\ln\frac34+...+\ln\frac{98}{99}+\ln\frac{99}{100}$,theo a và b.,$A.~-2(a-b).$ $B.~-2(a+b).$,$C.~2(a-b).$ $D.~2(a+b).$

Question

Accepted Answer

Câu 64:
Ta có:
$$ I = \ln \frac{1}{2} + \ln \frac{2}{3} + \ln \frac{3}{4} + \ldots + \ln \frac{98}{99} + \ln \frac{99}{100}. $$

Sử dụng tính chất của logarit, ta có:
$$ I = \ln \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdots \frac{98}{99} \cdot \frac{99}{100} \right). $$

Nhận thấy rằng các số hạng trong dấu ngoặc đơn sẽ rút gọn như sau:
$$ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdots \frac{98}{99} \cdot \frac{99}{100} = \frac{1}{100}. $$

Do đó:
$$ I = \ln \left( \frac{1}{100} \right). $$

Biểu diễn $\frac{1}{100}$ dưới dạng lũy thừa của 10:
$$ \frac{1}{100} = 10^{-2}. $$

Vậy:
$$ I = \ln (10^{-2}) = -2 \ln 10. $$

Biểu diễn $\ln 10$ theo $a$ và $b$:
$$ \ln 10 = \ln (2 \cdot 5) = \ln 2 + \ln 5 = a + b. $$

Do đó:
$$ I = -2(a + b). $$

Vậy đáp án đúng là:
$$ B. ~-2(a + b). $$