Điền đúng sai với mỗi đáp án Câu 14: Cho hàm số $y=\frac{x+2}{x-2}$ có đồ thị là $(C).$,a) Đồ thị (C) có đường tiệm cận đứng $x=2.$ b) Đồ thị (C) có đường tiệm cận ngang $y=1.$,c) Đồ thị (C) nhận điểm $I(1;1)$ làm tâm đối xứng.,d) Đường thẳng $d:~y=x+1$ cắt hai đường tiệm cận của đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt và khoảng cách,giữa hai điểm đó bằng $\sqrt5.$,Câu 15: Cho hàm số $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1},$ khi đó:,a) Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm.,b) Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.,c) giao điểm của hai đường tiệm cận nằm trên trục hoành.,d) Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho song song với đường thẳng $x+y=0.$

Question

Accepted Answer

Câu 14:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ xem xét từng phần một cách chi tiết.

a) Đồ thị (C) có đường tiệm cận đứng $x=2$.

Để tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x+2}{x-2}$, ta cần tìm giá trị của $x$ làm cho mẫu số bằng 0, tức là $x - 2 = 0$. Giải phương trình này, ta được $x = 2$. Do đó, đồ thị có đường tiệm cận đứng $x = 2$.

b) Đồ thị (C) có đường tiệm cận ngang $y=1$.

Để tìm đường tiệm cận ngang, ta xét giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới vô cùng. Ta có:

$$
\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x+2}{x-2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{1 - \frac{2}{x}} = \frac{1 + 0}{1 - 0} = 1
$$

Do đó, đồ thị có đường tiệm cận ngang $y = 1$.

c) Đồ thị (C) nhận điểm $I(1;1)$ làm tâm đối xứng.

Để kiểm tra điều này, ta cần xem xét phép đối xứng qua điểm $I(1;1)$. Hàm số $y = \frac{x+2}{x-2}$ có thể được viết lại dưới dạng:

$$
y - 1 = \frac{x+2}{x-2} - 1 = \frac{x+2 - (x-2)}{x-2} = \frac{4}{x-2}
$$

Đặt $u = x - 2$, ta có $y - 1 = \frac{4}{u}$, hay $y = 1 + \frac{4}{u}$. Phép đối xứng qua điểm $I(1;1)$ là:

$$
(x', y') = (2 - x, 2 - y)
$$

Thay vào hàm số, ta có:

$$
2 - y = 1 - \frac{4}{x-2} \Rightarrow y = 1 + \frac{4}{x-2}
$$

Điều này cho thấy đồ thị nhận điểm $I(1;1)$ làm tâm đối xứng.

d) Đường thẳng $d:~y=x+1$ cắt hai đường tiệm cận của đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng $\sqrt5$.

Đường thẳng $d: y = x + 1$ cắt đường tiệm cận đứng $x = 2$ tại điểm $A(2, 3)$, vì khi $x = 2$, $y = 2 + 1 = 3$.

Đường thẳng $d: y = x + 1$ cắt đường tiệm cận ngang $y = 1$ tại điểm $B(0, 1)$, vì khi $y = 1$, $x = 1 - 1 = 0$.

Khoảng cách giữa hai điểm $A(2, 3)$ và $B(0, 1)$ là:

$$
AB = \sqrt{(2 - 0)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
$$

Tuy nhiên, đề bài yêu cầu khoảng cách là $\sqrt{5}$, điều này cho thấy có sự nhầm lẫn trong đề bài hoặc trong cách tính toán. Vui lòng kiểm tra lại đề bài hoặc các bước tính toán.

Câu 15:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích hàm số đã cho và tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Hàm số đã cho là $ y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1} $.

a) Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:

1. Đường tiệm cận đứng:

Đường tiệm cận đứng xuất hiện khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0. Xét mẫu số $ x - 1 = 0 $, ta có $ x = 1 $.

Vậy, đường tiệm cận đứng là $ x = 1 $.

2. Đường tiệm cận ngang hoặc xiên:

Để tìm đường tiệm cận ngang hoặc xiên, ta xét giới hạn của hàm số khi $ x \to \pm \infty $.

Ta thực hiện phép chia đa thức: $\frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}$.

- Chia $ x^2 $ cho $ x $ được $ x $.
   - Nhân $ x $ với $ x - 1 $ được $ x^2 - x $.
   - Lấy $ x^2 - 2x + 3 $ trừ đi $ x^2 - x $ được $ -x + 3 $.
   - Chia $ -x $ cho $ x $ được $ -1 $.
   - Nhân $ -1 $ với $ x - 1 $ được $ -x + 1 $.
   - Lấy $ -x + 3 $ trừ đi $ -x + 1 $ được $ 2 $.

Vậy, phép chia cho kết quả: $ y = x - 1 + \frac{2}{x-1} $.

Khi $ x \to \pm \infty $, $\frac{2}{x-1} \to 0$, do đó đường tiệm cận xiên là $ y = x - 1 $.

b) Đường tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân:

Đường tiệm cận xiên là $ y = x - 1 $.

- Giao điểm với trục hoành (Ox): Cho $ y = 0 $, ta có $ x - 1 = 0 $ hay $ x = 1 $. Vậy giao điểm là $ (1, 0) $.
   - Giao điểm với trục tung (Oy): Cho $ x = 0 $, ta có $ y = -1 $. Vậy giao điểm là $ (0, -1) $.

Tam giác tạo bởi các điểm $ (0, 0) $, $ (1, 0) $, và $ (0, -1) $ là tam giác vuông cân tại gốc tọa độ.

c) Giao điểm của hai đường tiệm cận nằm trên trục hoành:

Hai đường tiệm cận là $ x = 1 $ và $ y = x - 1 $.

Giao điểm của chúng là $ x = 1 $ và $ y = 1 - 1 = 0 $, tức là điểm $ (1, 0) $, nằm trên trục hoành.

d) Đường tiệm cận xiên song song với đường thẳng $ x + y = 0 $:

Đường thẳng $ x + y = 0 $ có dạng $ y = -x $, hệ số góc là $-1$.

Đường tiệm cận xiên của hàm số là $ y = x - 1 $, có hệ số góc là $ 1 $.

Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi hệ số góc của chúng bằng nhau. Do đó, đường tiệm cận xiên không song song với đường thẳng $ x + y = 0 $.

Kết luận:

- a) Đúng, đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.
- b) Đúng, đường tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
- c) Đúng, giao điểm của hai đường tiệm cận nằm trên trục hoành.
- d) Sai, đường tiệm cận xiên không song song với đường thẳng $ x + y = 0 $.