Câu 1:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm về tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
1. Tiệm cận ngang: Đường thẳng được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu hoặc .
Dựa vào định nghĩa trên, ta phân tích các giới hạn đã cho:
- : Điều này có nghĩa là khi tiến tới , giá trị của hàm số tiến tới 3. Do đó, đường thẳng là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi .
- : Điều này có nghĩa là khi tiến tới , giá trị của hàm số tiến tới . Do đó, không có tiệm cận ngang khi .
Từ hai phân tích trên, ta thấy rằng đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận ngang là đường thẳng .
Vậy, khẳng định đúng là: D. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một đường tiệm cận ngang.
Câu 2:
Để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số , ta cần thực hiện phép chia đa thức tử số cho đa thức mẫu số.
Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức
Chia cho :
1. Lấy chia cho được .
2. Nhân với được .
3. Lấy trừ đi được .
Tiếp tục chia:
1. Lấy chia cho được .
2. Nhân với được .
3. Lấy trừ đi được .
Vậy phép chia cho kết quả:
Bước 2: Xác định tiệm cận xiên
Khi , phần dư . Do đó, tiệm cận xiên là đường thẳng:
Bước 3: Kiểm tra điểm thuộc đường thẳng
Đường thẳng tiệm cận xiên là . Ta kiểm tra từng điểm:
- Điểm : Thay vào phương trình , ta có . Đúng.
- Điểm : Thay vào phương trình , ta có . Sai.
- Điểm : Thay vào phương trình , ta có . Đúng.
- Điểm : Thay vào phương trình , ta có . Sai.
Kết luận
Các điểm thuộc đường thẳng là và . Do đó, đáp án đúng là .
Câu 3:
Để xác định đường tiệm cận đứng của hàm số , ta cần xem xét hành vi của hàm số khi tiến đến các giá trị mà hàm số không xác định hoặc có sự thay đổi đột ngột.
Dựa vào bảng biến thiên:
1. Khi , .
2. Khi , .
Điều này cho thấy tại , hàm số có sự thay đổi đột ngột và không xác định, do đó là đường tiệm cận đứng.
Vậy đáp án đúng là:
Câu 4:
Để tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số , chúng ta cần xác định các giá trị của làm cho mẫu số bằng không, vì đó là nơi có thể xuất hiện đường tiệm cận đứng.
Mẫu số của hàm số là . Ta giải phương trình:
Tiếp theo, ta kiểm tra xem có làm cho tử số bằng không hay không:
Tử số của hàm số là . Thay vào tử số:
Vì tử số không bằng không khi , nên là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 5:
Để tìm giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số , ta cần xác định các đường tiệm cận đứng và ngang của hàm số.
1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ):
Hàm số xác định khi mẫu số khác 0, tức là . Do đó, .
2. Tìm tiệm cận đứng:
Tiệm cận đứng xuất hiện khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0. Ở đây, mẫu số khi . Tử số tại là . Do đó, hàm số có tiệm cận đứng tại .
3. Tìm tiệm cận ngang:
Để tìm tiệm cận ngang, ta xét giới hạn của hàm số khi . Ta có:
Tuy nhiên, để tìm tiệm cận ngang chính xác, ta cần thực hiện phép chia đa thức:
Chia cho :
Do đó, hàm số có dạng:
Khi , , do đó, hàm số có tiệm cận xiên là .
4. Giao điểm của hai đường tiệm cận:
Đường tiệm cận đứng là và đường tiệm cận xiên là . Giao điểm của hai đường này là nghiệm của hệ phương trình:
Thay vào phương trình , ta được .
Vậy giao điểm của hai đường tiệm cận là .
Do đó, đáp án đúng là .
Câu 6:
Để tìm số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số , chúng ta cần xét giới hạn của hàm số khi .
Trước tiên, hãy đơn giản hóa biểu thức trong căn:
Do đó, hàm số có dạng:
Bây giờ, chúng ta sẽ tìm giới hạn của hàm số khi :
Chia cả tử số và mẫu số cho :
Khi , các hạng tử chứa và sẽ tiến về 0:
Vậy, giới hạn của hàm số khi đều bằng 1. Điều này có nghĩa là đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là .
Do đó, đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang.
Đáp án: A. 1.