Giải phương trình: $\sqrt{x + 4} + \sqrt{9 - x} = 5$.

Question

Accepted Answer

Điều kiện xác định: $ x \geq -4 $ và $ x \leq 9 $.

Bước 1: Đặt $ \sqrt{x + 4} = a $ và $ \sqrt{9 - x} = b $. Ta có $ a + b = 5 $.

Bước 2: Bình phương cả hai vế của phương trình $ a + b = 5 $:
$$ a^2 + 2ab + b^2 = 25. $$

Bước 3: Thay $ a^2 = x + 4 $ và $ b^2 = 9 - x $ vào phương trình trên:
$$ (x + 4) + 2ab + (9 - x) = 25. $$
$$ 13 + 2ab = 25. $$
$$ 2ab = 12. $$
$$ ab = 6. $$

Bước 4: Ta có hệ phương trình:
$$ a + b = 5, $$
$$ ab = 6. $$

Bước 5: Giải hệ phương trình này, ta tìm được $ a $ và $ b $ là nghiệm của phương trình $ t^2 - 5t + 6 = 0 $:
$$ t^2 - 5t + 6 = 0. $$
$$ (t - 2)(t - 3) = 0. $$
$$ t = 2 \text{ hoặc } t = 3. $$

Bước 6: Ta có hai trường hợp:
- Trường hợp 1: $ a = 2 $ và $ b = 3 $:
  $$ \sqrt{x + 4} = 2 \Rightarrow x + 4 = 4 \Rightarrow x = 0. $$
  $$ \sqrt{9 - x} = 3 \Rightarrow 9 - x = 9 \Rightarrow x = 0. $$

- Trường hợp 2: $ a = 3 $ và $ b = 2 $:
  $$ \sqrt{x + 4} = 3 \Rightarrow x + 4 = 9 \Rightarrow x = 5. $$
  $$ \sqrt{9 - x} = 2 \Rightarrow 9 - x = 4 \Rightarrow x = 5. $$

Bước 7: Kiểm tra các giá trị $ x = 0 $ và $ x = 5 $ thỏa mãn điều kiện ban đầu:
- Với $ x = 0 $:
  $$ \sqrt{0 + 4} + \sqrt{9 - 0} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5. $$
- Với $ x = 5 $:
  $$ \sqrt{5 + 4} + \sqrt{9 - 5} = \sqrt{9} + \sqrt{4} = 3 + 2 = 5. $$

Vậy nghiệm của phương trình là $ x = 0 $ hoặc $ x = 5 $.

Giải phương trình: .