Tính độ dài PQ. Câu 23 (2đ). Trong không gian Oxyz, cho điểm,$A(2;1;3).$ Gọi P,Q lần lượt là điểm đối xứng với A,qua các mặt phẳng Oxy và Oyz. Độ dài đoạn thẳng PQ,là:

Question

Accepted Answer

Câu 23:
Để tìm độ dài đoạn thẳng $ PQ $, trước tiên chúng ta cần xác định tọa độ của các điểm $ P $ và $ Q $.

1. Tìm tọa độ điểm $ P $:

Điểm $ P $ là điểm đối xứng của $ A(2;1;3) $ qua mặt phẳng $ Oxy $. Khi đối xứng qua mặt phẳng $ Oxy $, tọa độ $ z $ sẽ đổi dấu, còn tọa độ $ x $ và $ y $ giữ nguyên. Do đó, tọa độ của $ P $ là:
   $$
   P(2;1;-3)
   $$

2. Tìm tọa độ điểm $ Q $:

Điểm $ Q $ là điểm đối xứng của $ A(2;1;3) $ qua mặt phẳng $ Oyz $. Khi đối xứng qua mặt phẳng $ Oyz $, tọa độ $ x $ sẽ đổi dấu, còn tọa độ $ y $ và $ z $ giữ nguyên. Do đó, tọa độ của $ Q $ là:
   $$
   Q(-2;1;3)
   $$

3. Tính độ dài đoạn thẳng $ PQ $:

Độ dài đoạn thẳng $ PQ $ được tính bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian:
   $$
   PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
   $$
   Với $ P(2;1;-3) $ và $ Q(-2;1;3) $, ta có:
   $$
   PQ = \sqrt{((-2) - 2)^2 + (1 - 1)^2 + (3 - (-3))^2}
   $$
   $$
   = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 6^2}
   $$
   $$
   = \sqrt{16 + 0 + 36}
   $$
   $$
   = \sqrt{52}
   $$
   $$
   = \sqrt{4 \times 13}
   $$
   $$
   = 2\sqrt{13}
   $$

Vậy, độ dài đoạn thẳng $ PQ $ là $ 2\sqrt{13} $.