Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... 36. Cho các số nguyên a,b thỏa mãn $a\sqrt2+b\sqrt[3]3=0.$ Chứng minh $a=b=0.$

Question

Vu Nguyen · Accepted Answer

Ta có:

$a\sqrt{2} + b\sqrt{3} = 0 \quad \Rightarrow \quad a\sqrt{2} = -b\sqrt{3} \quad (*)$

Giả sử $b eq 0$. Từ $(*)$ suy ra:

$\sqrt{\frac{3}{2}} = -\frac{a}{b}$

Vì $a, b$ là các số nguyên và $b eq 0$, nên $-\frac{a}{b}$ là một số hữu tỉ.

Mà $\sqrt{\frac{3}{2}}$ là một số vô tỉ.

$->$vô lý (một số vô tỉ không thể bằng một số hữu tỉ).

giả sử $b eq 0$ là sai. Vậy $b$ phải bằng $0$.

Thay $b=0$ vào $(*)$, ta được:

$a\sqrt{2} = -0 \cdot \sqrt{3}$

$a\sqrt{2} = 0$

$a = 0$ (vì $\sqrt{2} eq 0$)

Vậy, $a = 0$ và $b = 0$.

Timi · Answer

Giả sử tồn tại các số nguyên a, b sao cho $a\sqrt2+b\sqrt[3]3=0.$ Ta sẽ chứng minh rằng a = b = 0.

Bước 1: Xét trường hợp a ≠ 0 hoặc b ≠ 0.

Bước 2: Nhân cả hai vế của phương trình $a\sqrt2+b\sqrt[3]3=0$ với $\sqrt2$:
$$ a(\sqrt2)^2 + b\sqrt2\sqrt[3]3 = 0 $$
$$ 2a + b\sqrt2\sqrt[3]3 = 0 $$

Bước 3: Nhân cả hai vế của phương trình $a\sqrt2+b\sqrt[3]3=0$ với $\sqrt[3]{9}$:
$$ a\sqrt2\sqrt[3]{9} + b(\sqrt[3]{9})\sqrt[3]{3} = 0 $$
$$ a\sqrt2\sqrt[3]{9} + b\sqrt[3]{27} = 0 $$
$$ a\sqrt2\sqrt[3]{9} + 3b = 0 $$

Bước 4: Từ phương trình $2a + b\sqrt2\sqrt[3]3 = 0$, ta có:
$$ b\sqrt2\sqrt[3]3 = -2a $$
$$ b\sqrt2\sqrt[3]3 = -2a \quad (1) $$

Từ phương trình $a\sqrt2\sqrt[3]{9} + 3b = 0$, ta có:
$$ a\sqrt2\sqrt[3]{9} = -3b $$
$$ a\sqrt2\sqrt[3]{9} = -3b \quad (2) $$

Bước 5: Nhân phương trình (1) với $\sqrt[3]{9}$:
$$ b\sqrt2\sqrt[3]{27} = -2a\sqrt[3]{9} $$
$$ b\sqrt2 \cdot 3 = -2a\sqrt[3]{9} $$
$$ 3b\sqrt2 = -2a\sqrt[3]{9} \quad (3) $$

Bước 6: Nhân phương trình (2) với $\sqrt2$:
$$ a(\sqrt2)^2\sqrt[3]{9} = -3b\sqrt2 $$
$$ 2a\sqrt[3]{9} = -3b\sqrt2 \quad (4) $$

Bước 7: So sánh phương trình (3) và (4):
$$ 3b\sqrt2 = -2a\sqrt[3]{9} $$
$$ 2a\sqrt[3]{9} = -3b\sqrt2 $$

Như vậy, ta có:
$$ 3b\sqrt2 = -2a\sqrt[3]{9} $$
$$ 2a\sqrt[3]{9} = -3b\sqrt2 $$

Do đó, ta thấy rằng phương trình này không thể đúng nếu a và b là các số nguyên khác 0. Do đó, giả sử ban đầu là sai, tức là a = 0 và b = 0.

Vậy, $a = 0$ và $b = 0$.