Cho tam giác $ABC$ có $AB = AC$, đường cao $AH$ và trung tuyến $AM$ bằng nhau. Chứng minh tam giác $ABC$ vuông.

Để chứng minh tam giác $ABC$ vuông, ta thực hiện các bước sau: 1. Xét tam giác $ABC$: Tam giác $ABC$ có $AB = AC$, do đó tam giác $ABC$ là tam giác cân tại $A$. 2. Đường cao và trung tuyến: Theo giả thiết, đường cao $AH$ và trung tuyến $AM$ bằng nhau, tức là $AH = AM$. 3. Xét tam giác $AHM$: Trong tam giác $AHM$, ta có $AH = AM$. Do đó, tam giác $AHM$ là tam giác cân tại $A$. 4. Tính chất của tam giác cân: Trong tam giác cân $AHM$, góc $\angle AHM = \angle AMH$. 5. Xét tam giác $ABC$ với $H$ là chân đường cao: Vì $AH$ là đường cao, nên $\angle AHB = \angle AHC = 90^\circ$. 6. Sử dụng tính chất của tam giác cân: Vì $AH = AM$ và tam giác $AHM$ cân tại $A$, nên $\angle HAM = \angle HMA$. 7. Chứng minh tam giác $ABC$ vuông: Ta có $\angle AHB = 90^\circ$ và $\angle HAM = \angle HMA$. Do đó, $\angle BAC = \angle BAM + \angle CAM = 2 \times \angle HAM$. 8. Kết luận: Vì $\angle AHB = 90^\circ$ và $\angle BAC = 2 \times \angle HAM$, nên $\angle BAC = 90^\circ$. Do đó, tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $A$. Vậy, tam giác $ABC$ là tam giác vuông.