Làm giuap minhf

Câu 8: Để hàm số \( y = \frac{1}{3}(m^2 - 2m)x^3 + mx^2 + 3x \) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), đạo hàm của nó phải không âm trên toàn bộ miền xác định. 1. Tính đạo hàm của \( y \): \[ y' = (m^2 - 2m)x^2 + 2mx + 3 \] 2. Để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\), ta cần \( y' \geq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Điều này xảy ra khi đa thức bậc hai \( (m^2 - 2m)x^2 + 2mx + 3 \) không có nghiệm thực hoặc có nghiệm thực nhưng tiếp tuyến tại đỉnh vẫn không âm. 3. Xét trường hợp \( m^2 - 2m = 0 \): \[ m(m - 2) = 0 \implies m = 0 \text{ hoặc } m = 2 \] - Nếu \( m = 0 \): \[ y' = 3 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \] Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\). - Nếu \( m = 2 \): \[ y' = 4x^2 + 4x + 3 \] Ta thấy \( 4x^2 + 4x + 3 \) là một đa thức bậc hai có \( \Delta = 16 - 48 = -32 < 0 \), nên \( y' > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\). 4. Xét trường hợp \( m^2 - 2m \neq 0 \): - Đa thức \( (m^2 - 2m)x^2 + 2mx + 3 \) phải không có nghiệm thực hoặc có nghiệm thực nhưng tiếp tuyến tại đỉnh vẫn không âm. - Điều kiện để đa thức bậc hai không có nghiệm thực là \( \Delta \leq 0 \): \[ \Delta = (2m)^2 - 4(m^2 - 2m) \cdot 3 = 4m^2 - 12(m^2 - 2m) = 4m^2 - 12m^2 + 24m = -8m^2 + 24m \] \[ -8m^2 + 24m \leq 0 \implies 8m^2 - 24m \geq 0 \implies 8m(m - 3) \geq 0 \] \[ m \leq 0 \text{ hoặc } m \geq 3 \] Kết hợp các trường hợp đã xét, ta có: \[ m \leq 0 \text{ hoặc } m \geq 3 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{C. \left[ \begin{array}{l} m \leq 0 \\ m \geq 3 \end{array} \right.} \] Câu 9: Để hàm số \( y = \frac{m}{3}x^3 - mx^2 + (2m-1)x - 2 \) nghịch biến trên toàn bộ tập xác định của nó, đạo hàm của hàm số phải luôn âm (\( y' < 0 \)). Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = m x^2 - 2mx + (2m - 1). \] Bước 2: Hàm số nghịch biến trên toàn bộ tập xác định nếu \( y' < 0 \) với mọi \( x \). Bước 3: Xét dấu của \( y' \): \[ y' = m x^2 - 2mx + (2m - 1). \] Bước 4: Để \( y' < 0 \) với mọi \( x \), ta cần xét dấu của tam thức bậc hai \( m x^2 - 2mx + (2m - 1) \). Bước 5: Tam thức bậc hai \( ax^2 + bx + c \) luôn âm nếu \( a < 0 \) và \( \Delta < 0 \). Trong trường hợp này: \[ a = m, \] \[ b = -2m, \] \[ c = 2m - 1. \] Bước 6: Điều kiện để tam thức luôn âm: \[ m < 0 \quad \text{(vì \( a < 0 \))}, \] \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-2m)^2 - 4(m)(2m - 1) = 4m^2 - 4m(2m - 1) = 4m^2 - 8m^2 + 4m = -4m^2 + 4m. \] Bước 7: Ta cần \( \Delta < 0 \): \[ -4m^2 + 4m < 0, \] \[ -4m(m - 1) < 0, \] \[ m(m - 1) > 0. \] Bước 8: Giải bất phương trình \( m(m - 1) > 0 \): \[ m < 0 \quad \text{hoặc} \quad m > 1. \] Bước 9: Kết hợp với điều kiện \( m < 0 \): \[ m < 0. \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~m \leq 0. \] Câu 10: Để tìm tất cả các giá trị của tham số \( m \) để hàm số \( y = mx^3 + 3x^2 - 2 \) đồng biến trên khoảng \( (-\infty, +\infty) \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(mx^3 + 3x^2 - 2) = 3mx^2 + 6x \] 2. Xác định điều kiện để hàm số đồng biến: Hàm số \( y = mx^3 + 3x^2 - 2 \) đồng biến trên khoảng \( (-\infty, +\infty) \) nếu đạo hàm \( y' \geq 0 \) trên toàn bộ khoảng này. 3. Phân tích dấu của đạo hàm: \[ y' = 3mx^2 + 6x \] Ta cần \( 3mx^2 + 6x \geq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). 4. Xét các trường hợp của \( m \): - Trường hợp 1: \( m > 0 \) \[ 3mx^2 + 6x \geq 0 \quad \text{với mọi } x \in \mathbb{R} \] Điều này đúng vì \( 3mx^2 \) luôn không âm và \( 6x \) có thể âm hoặc dương, nhưng tổng của chúng vẫn không âm do \( 3mx^2 \) đủ lớn để bù đắp cho \( 6x \). - Trường hợp 2: \( m = 0 \) \[ y' = 6x \] Hàm số \( y' = 6x \) không luôn không âm trên toàn bộ khoảng \( (-\infty, +\infty) \) vì nó âm khi \( x < 0 \) và dương khi \( x > 0 \). Do đó, \( m = 0 \) không thỏa mãn điều kiện. - Trường hợp 3: \( m < 0 \) \[ 3mx^2 + 6x \geq 0 \] Điều này không thể đúng với mọi \( x \in \mathbb{R} \) vì \( 3mx^2 \) sẽ âm khi \( x \neq 0 \) và \( 6x \) có thể âm hoặc dương, nhưng tổng của chúng sẽ âm trong nhiều trường hợp. 5. Kết luận: Hàm số \( y = mx^3 + 3x^2 - 2 \) đồng biến trên khoảng \( (-\infty, +\infty) \) khi và chỉ khi \( m > 0 \). Do đó, các giá trị của tham số \( m \) là: \[ \boxed{m > 0} \] Bài 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần kiểm tra sự đồng biến của hàm số \( f(x) = (m^2 - 4)x^3 + 3(m - 2)x^2 + 3x - 4 \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Đạo hàm của \( f(x) \) là: \[ f'(x) = 3(m^2 - 4)x^2 + 6(m - 2)x + 3 \] Bước 2: Xác định điều kiện để hàm số đồng biến Hàm số \( f(x) \) đồng biến trên miền xác định nếu \( f'(x) \geq 0 \) trên miền đó. Bước 3: Xét dấu của đạo hàm Để \( f'(x) \geq 0 \) trên toàn bộ miền xác định, đạo hàm \( f'(x) \) phải không âm. Ta xét trường hợp \( m^2 - 4 \neq 0 \): Trường hợp 1: \( m^2 - 4 > 0 \) Khi \( m^2 - 4 > 0 \), tức là \( m > 2 \) hoặc \( m < -2 \), đạo hàm \( f'(x) \) là một đa thức bậc hai với hệ số \( a = 3(m^2 - 4) > 0 \). Để \( f'(x) \geq 0 \) trên toàn bộ miền xác định, đa thức bậc hai này phải không có nghiệm thực hoặc có nghiệm nhưng vẫn không âm. Tuy nhiên, vì \( m^2 - 4 > 0 \), đa thức \( f'(x) \) sẽ có thể có nghiệm thực, do đó không đảm bảo \( f'(x) \geq 0 \) trên toàn bộ miền xác định. Trường hợp 2: \( m^2 - 4 < 0 \) Khi \( m^2 - 4 < 0 \), tức là \( -2 < m < 2 \), đạo hàm \( f'(x) \) là một đa thức bậc hai với hệ số \( a = 3(m^2 - 4) < 0 \). Để \( f'(x) \geq 0 \) trên toàn bộ miền xác định, đa thức bậc hai này phải không có nghiệm thực hoặc có nghiệm nhưng vẫn không âm. Tuy nhiên, vì \( m^2 - 4 < 0 \), đa thức \( f'(x) \) sẽ có thể có nghiệm thực, do đó không đảm bảo \( f'(x) \geq 0 \) trên toàn bộ miền xác định. Trường hợp 3: \( m^2 - 4 = 0 \) Khi \( m^2 - 4 = 0 \), tức là \( m = 2 \) hoặc \( m = -2 \), đạo hàm \( f'(x) \) trở thành: \[ f'(x) = 6(m - 2)x + 3 \] - Nếu \( m = 2 \): \[ f'(x) = 3 \] Đạo hàm \( f'(x) = 3 \) luôn dương, do đó hàm số \( f(x) \) đồng biến trên toàn bộ miền xác định. - Nếu \( m = -2 \): \[ f'(x) = -12x + 3 \] Đạo hàm \( f'(x) = -12x + 3 \) có thể âm hoặc dương tùy theo giá trị của \( x \), do đó hàm số \( f(x) \) không đồng biến trên toàn bộ miền xác định. Kết luận Hàm số \( f(x) \) đồng biến trên toàn bộ miền xác định khi và chỉ khi \( m = 2 \). Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~m \geq 2} \]