Giải hộ mình câu này với các bạn

a) Rút gọn P: Ta có: \[ P = \frac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1} : \left( \frac{x + 1}{x} - \frac{1}{1 - x} + \frac{2 - x^2}{x^2 - x} \right) \] Đầu tiên, ta rút gọn phần tử số và mẫu số của phân thức đầu tiên: \[ \frac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1} = \frac{x(x + 1)}{(x - 1)^2} \] Tiếp theo, ta rút gọn phần tử số và mẫu số của phân thức thứ hai: \[ \frac{x + 1}{x} - \frac{1}{1 - x} + \frac{2 - x^2}{x^2 - x} \] Chúng ta sẽ quy đồng mẫu số chung cho các phân thức này: \[ \frac{x + 1}{x} - \frac{1}{1 - x} + \frac{2 - x^2}{x(x - 1)} \] Quy đồng mẫu số chung là \( x(x - 1) \): \[ \frac{(x + 1)(x - 1)}{x(x - 1)} - \frac{x}{x(x - 1)} + \frac{2 - x^2}{x(x - 1)} \] Rút gọn các phân thức: \[ \frac{x^2 - 1 - x + 2 - x^2}{x(x - 1)} = \frac{-x + 1}{x(x - 1)} = \frac{-(x - 1)}{x(x - 1)} = \frac{-1}{x} \] Bây giờ, ta có: \[ P = \frac{x(x + 1)}{(x - 1)^2} : \frac{-1}{x} \] Chia hai phân thức: \[ P = \frac{x(x + 1)}{(x - 1)^2} \cdot \frac{x}{-1} = \frac{x^2(x + 1)}{-(x - 1)^2} = \frac{-x^2(x + 1)}{(x - 1)^2} \] Vậy, \( P = \frac{-x^2(x + 1)}{(x - 1)^2} \). b) Tìm \( x \in \mathbb{Z} \) để \( P \in \mathbb{Z} \): \[ P = \frac{-x^2(x + 1)}{(x - 1)^2} \] Để \( P \) là số nguyên, \( \frac{-x^2(x + 1)}{(x - 1)^2} \) phải là số nguyên. Ta xét các trường hợp \( x \) là số nguyên khác 0 và ±1. - Nếu \( x = 2 \): \[ P = \frac{-2^2(2 + 1)}{(2 - 1)^2} = \frac{-4 \cdot 3}{1} = -12 \] \( P \) là số nguyên. - Nếu \( x = -1 \): \[ P = \frac{-(-1)^2(-1 + 1)}{(-1 - 1)^2} = \frac{-1 \cdot 0}{4} = 0 \] \( P \) là số nguyên. - Nếu \( x = 3 \): \[ P = \frac{-3^2(3 + 1)}{(3 - 1)^2} = \frac{-9 \cdot 4}{4} = -9 \] \( P \) là số nguyên. Vậy, \( x \) có thể là 2, -1, hoặc 3. c) Cho \( x > 1 \) Tìm GTNN của P: \[ P = \frac{-x^2(x + 1)}{(x - 1)^2} \] Ta thấy rằng khi \( x \) tăng, \( P \) giảm. Do đó, GTNN của \( P \) xảy ra khi \( x \) gần 1 nhất. - Khi \( x = 2 \): \[ P = \frac{-2^2(2 + 1)}{(2 - 1)^2} = \frac{-4 \cdot 3}{1} = -12 \] Vậy, GTNN của \( P \) là -12 khi \( x = 2 \). d) Cho \( x \geq 2 \) Tìm GTNN của P: \[ P = \frac{-x^2(x + 1)}{(x - 1)^2} \] Ta thấy rằng khi \( x \) tăng, \( P \) giảm. Do đó, GTNN của \( P \) xảy ra khi \( x \) gần 2 nhất. - Khi \( x = 2 \): \[ P = \frac{-2^2(2 + 1)}{(2 - 1)^2} = \frac{-4 \cdot 3}{1} = -12 \] Vậy, GTNN của \( P \) là -12 khi \( x = 2 \).